Small__明的博客

核心思想：将所有额外条件视为背景知识PA∣BCPB∣ACPA∣CPB∣CPA∣BCPB∣CPB∣ACPA∣C​递归：可以递归应用到任意多个条件应用：在复杂概率模型（如扩散模型）中，这种一般化形式让我们能正确处理多个已知条件下的推断问题。

若PB0P(B) > 0PB0PA∣BPA∩BPBPA∣BPBPA∩B​几何解释：将样本空间缩小到B的范围，再看A占B的比例。为什么这样定义？PAA的样本点数总样本点数P(A) = A的样本点数 / 总样本点数PAA的样本点数总样本点数已知BBB发生后，总样本点仅限于BBB，此时AAA发生的样本点必须是A∩BA\cap BA∩B。因此，PA∣BA∩B的样本点数B的样本点数PA∩BP。

多元高斯分布（Multivariate Gaussian Distribution）是一元高斯分布在多维空间的自然推广。它描述的不是一个单一的随机变量，而是一组随机变量（一个随机向量）的联合分布，并且这组变量的任何线性组合都服从一元高斯分布。方面普通高斯分布（一元）多元高斯分布描述对象一个随机变量（标量）多个随机变量组成的向量参数2个：均值(μ)和方差(σ²)两个集合：均值向量(μ)和协方差矩阵(Σ均值一个数值 μ，表示分布的中心位置一个向量μ，表示在多维空间中分布的中心点方差/协方差。

VarXEX−EX2VarXE[(X−EX2其中EXE[X]EX是XXX的期望值（均值）。CovXYEX−EXY−EYCovXYE[(X−EX])Y−EY])]协方差矩阵Σ\SigmaΣ是一个p×pp×pp×pΣVarX1CovX1X2⋯CovX1XpCovX2X1VarX2⋯CovX2Xp⋮⋮⋱⋮CovXpX1。

正态分布是概率论与统计学中最重要的连续概率分布。它描述了一个大量独立、随机变量之和的分布会趋近于的分布形态。因其曲线呈钟形，故又常被称为钟形曲线。方面核心要点别名高斯分布、钟形曲线核心定义描述大量独立随机变量之和的极限分布数学关键由均值(( \mu ))决定位置，标准差(( \sigma ))决定形状核心特性集中性、对称性、钟形、经验法则普遍性原因中心极限定理主要应用自然科学测量、社会科学指标、质量控制、金融建模、统计推断、机器学习等。

概率密度函数描述了一个连续型随机变量，落在某个特定值附近的可能性大小。记作fxf(x)fx。概率密度函数是连续随机变量的“身份证”，它完整地描述了该变量的概率分布规律。核心要义：PDF的函数值表示概率密度，本身没有直接的概率意义，其曲线下的面积才代表概率。作用：通过积分，我们可以求出变量落在任何一个区间内的概率。类比：就像一根密度不均匀的棍子，PDF描述了不同位置的“密度”，而我们要知道某一段的“质量”，就需要对密度进行积分。

状态空间所有可能状态的集合，通常记为Ss1s2s3snSs1​s2​s3​...sn​例如上面的S晴雨S = \{\text{晴}, \text{雨}\}S晴雨。状态可以是任何事物：网页、单词、股价的涨跌、疾病的不同阶段等。转移概率矩阵一个数学矩阵PPP，其中的每个元素PijP_{ij}Pij​表示从状态iii转移到状态jjj的概率。

蒙特卡洛算法是一种“暴力美学”的计算哲学——当一个问题过于复杂，无法用解析或确定性方法求解时，我们就通过无数次“随机尝试”，从统计结果中寻找答案。它巧妙地将困难的数学问题转化为了相对简单的统计问题。

条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。用数学语言表达：P(A∣B)=P(A∩B)P(B)其中P(B)>0P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad \text{其中} \quad P(B) > 0P(A∣B)=P(B)P(A∩B)​其中P(B)>0“在获得新信息后，重新评估可能性”就像侦探破案：样本空间：所有可能结果的集合事件：样本空间的子集概率公理：交集：A∩BA \cap BA∩B（A和B同时发生）并集：A∪BA \cup BA∪B（A