数据结构实验之图论六：村村通公路

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本文介绍了一种利用图论中的最小生成树Prim算法解决实际问题的方法——如何以最低成本实现乡村间的公路连通。通过具体实例展示了算法的实现过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

数据结构实验之图论六：村村通公路

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Problem Description

当前农村公路建设正如火如荼的展开，某乡镇政府决定实现村村通公路，工程师现有各个村落之间的原始道路统计数据表，表中列出了各村之间可以建设公路的若干条道路的成本，你的任务是根据给出的数据表，求使得每个村都有公路连通所需要的最低成本。

Input

连续多组数据输入，每组数据包括村落数目N(N <= 1000)和可供选择的道路数目M(M <= 3000)，随后M行对应M条道路，每行给出3个正整数，分别是该条道路直接连通的两个村庄的编号和修建该道路的预算成本，村庄从1～N编号。

Output

输出使每个村庄都有公路连通所需要的最低成本，如果输入数据不能使所有村庄畅通，则输出-1，表示有些村庄之间没有路连通。

Example Input

Example Output

Hint

Author

应用最小生成树Prim算法

[cpp] view plain copy
输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E  
输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树  
  
算法流程：  
  
  1.初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {}；  
  
  2.重复下列操作，直到Vnew = V:  
    <1>在集合E中选取权值最小的边（u, v），其中u为集合Vnew中的元素，而v则是V中没有加入Vnew的顶点（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；  
    <2>将v加入集合Vnew中，将（u, v）加入集合Enew中；

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;

int gra[1005][1005];
bool visit[1005];
int low[1005];

int prim(int n)//n为顶点数
{
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        low[i] = gra[1][i];//记录与第一个节点连接的权值
    visit[1] = true;
    int k, mmin, sum = 0; //k标记当前最小时候的位置    mmin是当前最小的权值
    for(int i = 1; i < n; i++)//还需要n-1个顶点
    {
        mmin = INF;
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(!visit[j] && low[j] < mmin)
            {
                mmin = low[j];
                k = j;
            }
        }
        sum += mmin;
        visit[k] = true;
        if(mmin == INF)
        {
            return -1;
        }
        for(int j = 1; j < n; j++)
        {
            if(!visit[j] && gra[k][j] < low[j])
                low[j] = gra[k][j];
        }//更新还没有加入的点的距离
    }
    return sum;
}
int main()
{
    int n, m;
    while(cin>>n>>m)
    {
        int u, v, w;
        memset(gra, 0, sizeof(gra));
        memset(visit, false, sizeof(visit));
        memset(low, 0, sizeof(low));
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= n; j++)
            {
                if(i == j)
                    gra[i][j] = 0;//对角线的权值置为0
                else
                    gra[i][j] = INF;//无穷大常量
            }
        }
        while(m--)
        {
            cin>>u>>v>>w;
            if(w < gra[u][v])
            {
                gra[u][v] = gra[v][u] = w;//有权值的是w, 没有的是上述初始化的无穷大
            }
        }
        cout<<prim(n)<<endl;
    }
    return 0;
}