codevs3150_组合数学

最新推荐文章于 2025-09-02 13:58:29 发布

sluqy671

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分类专栏：组合数学数论 codevs 文章标签： c++ 优化 printf 高精度

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组合数学

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本文介绍了一种使用组合数学解决特定排列问题的方法。通过枚举较大的π数量，并结合组合数和高精度计算来求解。文章分享了一些优化技巧，如高精度压位、组合数的递推计算等。

最近在学习Rujia Liu的课件，组合数学这一章里面有这道题，但看不懂他的题解，只好自己用组合数学来做。

给出一个数n，求有多少种排列使n与各项之和的差大于0小于4，排列中的项只能为π或1。这个时候自然想到要枚举较大的π的个数，同时用组合数计算和，再加上高精度，这道题就可以AC了，不过介于数据较大，还要考虑各种优化。

小优化1：高精度压位。我是用long long压了9位的，因为之前数组开得过大大数据老是过不了。压位的确是一种省时空复杂度的好方法。

小优化2：计算组合数时，不用每一次去重新计算，这样有很多重复而且绝对过不了，注意到枚举π的个数的过程中，分别求的是C(k, 1), C(k, 2), C(k, 3)...，可以考虑将上一次的结果记录下来，这样每次只用乘一个数在除一个数即可。

基于上面优化的优化：既然每次只用记录一个组合数，那么高精度计算的函数可以直接变为无返回值且不用传递高精度变量的了。普通写法中这两项增加了一部分的时间复杂度，而现在可以去掉。

最后还有一点，虽然对于这一题并没有什么影响： wshjzaa说过，有时候π的精度不够题就A不了，于是有写法double pi = 4 * atan(1)， orz。(有时候连记住π = 3.1415926535都没用)

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define mod 1000000000

using namespace std;

typedef long long LL;
const double pi = 4 * atan(1);
struct node
{
    int len;
    LL l[541];
    void print()
    {
        printf("%d", l[len]);
        for (int i = len - 1; i; i--)
        printf("%09d", l[i]);
        putchar('\n');
    }
}A, B;
int n;
void mul(int b)
{
    for (int i = 1; i <= B.len; ++i)
    B.l[i] *= b;
    for (int i = 1; i <= B.len; ++i)
    {
        B.l[i+1] += B.l[i] / mod;
        B.l[i] %= mod;
    }
    while(B.l[B.len+1])
    {
        ++B.len;
        B.l[B.len+1] += B.l[B.len] / mod;
        B.l[B.len] %= mod;
    }
}
void div(int b)
{
    int flag = 0;
    LL now = 0;
    for (int i = B.len; i; i--)
    {
        (now *= mod) += B.l[i];
        B.l[i] = 0;
        if (now < b) continue;
        if (!flag)
        {
            flag = 1;
            B.len = i;
        }
        B.l[i] = now / b;
        now %= b;
    }
}
void plus()
{
    A.len = max(A.len, B.len);
    for (int i = 1; i <= A.len; ++i)
    {
        A.l[i] += B.l[i];
        A.l[i+1] += A.l[i] / mod;
        A.l[i] %= mod;
    }
    while(A.l[A.len+1])
    {
        ++A.len;
        A.l[A.len+1] += A.l[A.len] / mod;
        A.l[A.len] %= mod;
    }
}
void deal()
{
    n -= 4;
    int j = (int)(n+pi), last, num = (pi+n) / pi;
    A.l[1] = A.len = B.l[1] = B.len = 1;
    for (int i = 1; i <= num; ++i)
    {
        last = j;
        j = (int)(n+pi-i*pi);
        for (int k = last - 1; k > j; k--)
        {
            mul(k+1);
            div(i+k);
        }
        mul(j+1);
        div(i);
        plus();
    }
    A.print();
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    deal();
    return 0;
}