《计算机科学中的数学》学习笔记（06 状态机）

书本信息：

作者: [美] Eric Lehman / [美] F. Thomson Leighton / [美] Albert R. Meyer
出版社: 电子工业出版社
出品方: 博文视点
副标题: 信息与智能时代的必修课
原作名: Mathematics for Computer Science

06 状态机

状态机（State Machines）是一种用于模拟系统行为的抽象模型。由于计算机程序可以看作是逐步的计算过程，因此状态机在计算机科学中经常出现。

1、状态和转移

状态机由以下几个主要部分组成：

1. 状态（States）：状态是状态机的基本组成部分。每个状态代表系统的一个特定条件或配置。
2. 转移（Transitions）：转换描述了状态机从一个状态移动到另一个状态的过程。转换可以由某些条件触发，也可以由输入值触发。
3. 开始状态（Start State）：状态机的运行通常从一个特定的开始状态开始。
4. 终止状态（Terminating States）：有些状态机会有一个或多个特定的状态，当状态机达到这些状态时，它将停止运行。

有限状态机（Finite State Machine，简称FSM）是一种特殊类型的状态机，它的状态数量是有限的。FSM在计算机科学、数学、物理学等领域都有广泛的应用。它们常常被用来模拟和控制系统的行为。

无限状态机，或称为无界状态机（Infinite State Machine），是一种状态数量无限的状态机。这种状态机的状态数量不受限制，可以是无限的。这种状态机的一个常见例子就是计数器，它可以从一个初始值开始，不断地增加或减少，理论上可以达到无限大或无限小。

例如，交通灯就是一个简单的无限状态机：

状态：
1. 红灯
2. 绿灯
3. 黄灯
转移：
[初始状态] 红灯
计时器达到预设时间 -> [转移] -> 绿灯
[状态] 绿灯
计时器达到预设时间 -> [转移] -> 黄灯
[状态] 黄灯
计时器达到预设时间 -> [转移] -> 红灯

在这个例子中，每个状态都有一个转移，触发条件是“计时器达到预设时间”。这个状态机会无限循环，没有终止状态。

状态机可以是确定性（deterministic）或非确定性（nondeterministic）的。在确定性状态机中，给定当前状态和输入，下一个状态是唯一确定的，上面的交通灯例子就是一个确定性状态机。而在非确定性状态机中，给定当前状态和输入，下一个状态可能有多个。

2、不变性原理

执行（execution）：一个状态机的执行描述了状态机可能采取的一系列步骤。一个执行是一个（可能无限的）状态序列，它具有以下属性：

• 它从初始状态开始；
• 如果q和r是序列中的两个连续状态，那么存在从q到r的转换。

一个状态如果出现在某个执行中，就称该状态为可达的（reachable）。

保持不变性（Preserved Invariant）：在状态机的运行过程中始终保持的某种属性或条件。换句话说，无论状态机如何从一个状态转移到另一个状态，这个属性或条件都不会改变。可以采用形式化的语言描述如下：

一个状态机的保持不变性是一个关于状态的谓词P
如果P(q)对某个状态q为真，并且存在从状态q到状态r的转换，那么P(r)也为真。

不变性原理（Invariant Principle）：如果一个状态机的保持不变性对初始状态为真，那么它对所有可达状态皆为真。

通常使用归纳法来证明保持不变性。具体来说，首先证明在开始状态下，保持不变性是成立的，然后，证明如果在某个状态下保持不变性成立，那么在所有可能的下一个状态下，保持不变性也会成立。

不变性原理实际上就是归纳原理的一种为状态机方便使用的形式。证明一个谓词在开始状态为真是归纳的基础情况，而证明一个谓词是保持不变性则对应于归纳的步骤。

保持不变性在证明状态机的正确性和稳定性时非常有用。通过证明某个属性或条件是保持不变的，可以确保状态机在所有可能的状态转换中都能正确地工作。

3、偏序正确性和终止性（Partial Correctness & Termination）

本书在没有对偏序（Partial Order）进行任何介绍的情况下，提到了程序验证中的偏序正确性，我觉得还是应该补充一些说明。

3.1 集合论中的偏序与全序（扩展）

偏序（Partial Order）：偏序是某种二元关系，首先，偏序是针对某个集合，然后，它是对集合中元素之间的某种顺序的描述。偏序扩展了我们对“小于”或“等于”的普通理解，并可以应用于许多不同类型的数学对象。一个偏序通常表示为符号“≤”（特别注意，该符号在这里并不是“小于或等于”的意思），满足以下三个性质：

1. 自反性（Reflexivity）: 对于集合中的每个元素a，都有a ≤ a。
2. 反对称性（Antisymmetry）: 如果a ≤ b且b ≤ a，那么a = b。
3. 传递性（Transitivity）: 如果a ≤ b且b ≤ c，那么a ≤ c。

在偏序关系中，并不是集合中的每一对元素都必须是可比较的。如果集合中的每一对元素都是可比较的，那么这个关系就是一个全序关系。

全序（Total Order）：也称为线性序（Linear Order），是偏序的一种特殊情况，其中集合中的任意两个元素都是可比较的。这意味着对于任何两个元素a和b，要么 a ≤ b，要么b ≤ a，这就是全序性（Totality）。全序关系满足偏序的所有性质，并增加了全序性。

偏序的例子：幂集中的包含关系

假设集合S = {a, b} ，其幂集（即所有可能的子集的集合）：P(S)={∅,{a},{b},{a,b}}

对于P(S)的任意子集A和子集B，当且仅当A是B的子集时，A与B之间的包含关系A ⊆ B就是一个偏序。

可以看到这个关系满足偏序的三个性质：

1. **自反性**: 对于任何子集A，A ⊆ A。
2. **反对称性**: 如果A ⊆ B且B ⊆ A，那么A = B。
3. **传递性**: 如果A ⊆ B且B ⊆ C，那么A ⊆ C。

这个关系是偏序但不是全序，因为并不是集合中的每一对元素都是可比较的。例如，对于P(S)的子集{a}和{b}，它们之间就没有这种包含关系。

全序的例子：整数集合中的自然顺序关系

在整数集合中，对于任何整数a和b，要么a ≤ b，要么b ≤ a，这里的“≤”表示“小于或等于”
这里的“小于或等于”关系就是一个全序关系的例子

3.2 程序验证中的偏序正确性和终止性（扩展）

集合论中的偏序关系可以扩展到计算机程序验证之中，计算机程序可以抽象为状态机模型，偏序关系可以用来描述程序状态之间的顺序关系，而程序算法就是计算偏序关系的过程。

偏序正确性（Partial Order Correctness）：即过程（process）如果有最终结果的话，这些结果必须满足系统要求。换句话说，如果算法终止，则其输出是正确的。偏序正确性是一种程序验证的方法，它的目标就是要证明在所有可能的执行顺序下，程序都能正确地执行。但是，偏序正确性并不保证算法一定会终止。一个偏序正确的算法可能会陷入无限循环。

偏序正确性通常涉及到以下两个步骤：

1. 偏序建模：首先，需要将程序的行为建模为一种偏序关系。在这个模型中，每个事件都被表示为一个点，如果事件A在事件B之前发生，那么就有一条从A到B的边。这种模型通常被称为“偏序图”或“事件图”。不难发现，偏序建模可以用来建立程序的状态机模型。
2. 偏序验证：然后，我们需要验证在所有可能的执行顺序下，程序都能满足它的要求。

偏序正确性通常使用不变性原理来证明。

终止性（Termination）：终止性是指过程总是会产生最终的结果。换句话说，算法总是在有限的步骤内结束。它并不关心算法的输出是否正确，只关心算法是否终止。

终止性一般使用良序原理证明。

将偏序正确性和终止性结合起来，就可以得到算法的完全正确性（Total Correctness）。一个完全正确的算法不仅在终止时给出正确的结果，而且总是在有限的步骤内终止。

3.1 快速求幂

本书以快速求幂算法为例，介绍了使用不变性原理来证明偏序正确性的证明过程。

计算一个数的幂，例如计算a的b次方，最直接的方法是将a乘以自己(b-1)次。但有一种更高效的方法叫做“快速求幂”，它可以用更少的乘法操作来得到结果。

这个算法的基本思路是这样的：

1. 使用三个寄存器（可以想象为三个存储空间）：x, y, 和 z。开始时，x存储数值a，y存储数值1，z存储数值b。其中，a为实数，b为非负整数。即
2. 然后开始不断地检查z的值。如果z为0，算法结束，此时y的值就是我们要的答案。
3. 如果z是偶数，更新x为x的平方，并将z减半。
4. 如果z是奇数，将y更新为y乘以x，然后再更新x为x的平方，并将z减去1后再减半。
5. 重复上述步骤，直到z为0。

建立快速求幂的状态机模型如下：

1. 状态: 这个机器的每个状态都是由三个数值组成的：x, y, 和 z。即（x，y，z），其中x∈ℝ，y∈ℝ，z∈ℕ。
2. 初始状态: 当我们开始时，x是a，y是1，z是b。即（x，y，z）=（a，1，b）。
3. 状态转移规则: 这个机器会根据z的值来决定下一步怎么做。
   • 如果z是偶数，x会变成x的平方，而z会减半。即
     $$（x，y，z）\to （x^2，y，求商（z，2））$$
   • 如果z是奇数，y会变成y乘以x，x会变成x的平方，而z会减1后再减半。即
     $$（x，y，z）\to （$$