计算几何 dls

最新推荐文章于 2022-01-17 09:14:57 发布

原创最新推荐文章于 2022-01-17 09:14:57 发布 · 370 阅读

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本文介绍了实数比较的方法，并深入探讨了几何计算中的关键概念，包括点、点积、叉积及其应用。通过对比和实例，讲解了如何利用这些数学工具解决实际问题，如角度判断、向量垂直性检测、三角形面积计算等。

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实数比较

#define double db
const db EPS=1e-9;
int sign(db a){ return a<-EPS?-1:a>EPS };
int cmp(db a,db b){ return sign(a-b)};

点

struct P{
	db x,y;
	P(){}
	P(db _x,db _y):x(_x),y(_y){}
	P operator+(P p){ return {x+p.x,y+p.y}; }
	P operator-(P p){ return {x-p.x,y-p.y}; }
	P operator*(db d){ return {x*d,y*d}; }
	P operator/(db d){ return {x/d,y/d};}
	bool operator<(P p) const {
		int c=cmp(x,p.x);
		if(c) return c==-1;
		return cmp(y,p.y)==-1;
	} 
	bool operator==(P o) const {
		return cmp(x,o.x)==0&&cmp(y,o.y)==0;
	}
}

点积和叉积

db dot(P p){ return x*p.x+y*p.y; }//点积
db det(P p){ return x*p.y-y*p.x; }//叉积

$\underset{p}{\rightarrow}$ $=(px,py)$ ， $\underset{q}{\rightarrow}$ $=(qx,qy)$ ，则点积 $\underset{p}{\rightarrow}$ · $\underset{q}{\rightarrow}$ $=px\cdot qx+py\cdot qy=$ | $\underset{p}{\rightarrow}$ |·| $\underset{q}{\rightarrow}$ |· $cos\theta$ ，当 $cos\theta$ 正，夹角为锐角，当 $cos\theta$ 负，夹角为钝角，当 $cos\theta$ 为0，两个向量互相垂直。 $\underset{p}{\rightarrow}$ 在 $\underset{q}{\rightarrow}$ 的投影长度为 $|\overset{}{\rightarrow}p|$ · $cos\theta$ 。

叉积 $\underset{p}{\rightarrow}$ * $\underset{q}{\rightarrow}$ $=px\cdot qy-py\cdot qx=$ | $\underset{p}{\rightarrow}$ |·| $\underset{q}{\rightarrow}$ |·sin< $\underset{p}{\rightarrow}$ , $\underset{q}{\rightarrow}$ > 当 $\underset{q}{\rightarrow}$ 在 $\underset{p}{\rightarrow}$ 的逆时针方向夹角为正，当 $\underset{q}{\rightarrow}$ 在 $\underset{p}{\rightarrow}$ 顺时针方向夹角为负。则当叉积大于0时 $\underset{q}{\rightarrow}$ 在 $\underset{p}{\rightarrow}$ 的逆时针方向，小于0时 $\underset{q}{\rightarrow}$ 在 $\underset{p}{\rightarrow}$ 顺时针方向，等于0时 $\underset{q}{\rightarrow}$ 和 $\underset{p}{\rightarrow}$ 同向或反向。当点积 $\underset{p}{\rightarrow}$ · $\underset{q}{\rightarrow}$ 大于0时为同向，小于0时为反向。

当点积 $\underset{p}{\rightarrow}$ · $\underset{q}{\rightarrow}$ 大于0时， $\underset{q}{\rightarrow}$ 在以 $\underset{p}{\rightarrow}$ 为x轴正方向的坐标系的一、三象限、当叉积 $\underset{p}{\rightarrow}$ * $\underset{q}{\rightarrow}$ 大于0时， $\underset{q}{\rightarrow}$ 在以 $\underset{p}{\rightarrow}$ 为x轴正方向的坐标系的一、二象限。

以 $\underset{p}{\rightarrow}$ ， $\underset{q}{\rightarrow}$ 组成三角形的面积S=1/2·|p|·|q|· $sin\theta$ =1/2·| $\underset{p}{\rightarrow}$ * $\underset{q}{\rightarrow}$ |。

极角排序

atan2(y,x); //返回值在(-180度,+180度)之间，用该函数获取每个向量的极角，再用sort排序即可
//缺点1：慢    缺点2：精度问题