从点乘角度理解傅里叶变换和小波变换

引言

傅里叶变换和小波变换都是机器学习中非常常用的工具，在特征提取、信号处理方面有着非常重要的作用。可是两者的数学模型都比较难理解和记忆，这篇文章通过点乘的角度去理解傅里叶变换，再通过傅里叶变换的局限性引出小波变换。

理论部分

在我们平时的数学学习中，点乘是非常重要且基本的数学概念，我们先从向量的点乘说起。

向量的点乘

向量的点乘，也叫做向量的內积、数量积。对两个向量执行点乘运算，就是对两个向量对应位一一相乘之后求和的操作：

相似度

对于事物的相似度，量化衡量的方法有很多种，比如动态弯曲距离（衡量时间序列相似度常见）、余弦相似度等等。本文主要介绍点乘中衡量相似度的方法：明显地，点乘值越大，相似度越大：

我们要比较两个向量的相似度我们必须先明白：向量是矢量，具有大小和方向。那么我们在衡量
两个向量的相似程度时，大小和方向都是必须要考虑的要素，指标。那么，我们可以看看以下情况：