树状数组所有变种问题（超全面）

最新推荐文章于 2022-03-26 09:55:14 发布

sky_zdk

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分类专栏：数据结构文章标签：树状数组 BIT 数据

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树状数组（Binary Indexed Tree，BIT）是一种数据结构，用于快速进行单点更新和区间求和操作。通过计算前i项和与前s-1项和的差值，可以高效地获取区间[s, t]的和。在二进制表示下，可以通过从i的二进制表示中移除最低非零位来减少查询计算。除了基本的一维区间操作，还包括二维BIT用于管理多个一维BIT数组，以及一维、二维的区间更新和单点查询。本文提供了一个全面的大神讲解，涵盖了所有树状数组的变种问题。" 123614244,11698352,解决win10-64环境下pip install tensorflow失败的问题,"['Python', '库安装', 'Windows环境', 'GPU支持', '问题解决']

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Binary Indexed Tree（树状数组）是能够完成下述操作的数据结构（单点更新，区间求和）

给一个初始值全为0的数列a1,a2,....an

*给定i,计算a1+a2+....ai（前i项和）

*给定i和x,执行ai+=x

通常用树状数组来快速求任意一区间的和

如果我们想求从s到t的和，只要知道（从1到t的和）和（从1到s-1的和）这2个数相减，就是我们要求的区间和

，也就是说，使用树状数组，我们可以快速求某一区间所有数的和。

如果想要得到前i项的和，如果是前8项，直接输出37，如果是前7项和，我们只需要知道红色部分的值分别是24，10，1。就可以了。

这样我们可以发现，我们查询的时候，每个节点右儿子的值不需要了，因为这个节点的值减去其左儿子的值就是其

右儿子的值。所以我们可以这样建立树状数组。。。

上面是红色数字的是我们要建数组的编号（元素值为0的就是可以省略的左儿子的值。。。。）

首先我们把数组下标转化成二进制。。。。来看看有什么发现。。。

1 0001

2 0010

3 0011

4 0100

5 0101

6 0110

7 0111

8 1000

我们可以发现以1结尾的1，3，5，7数组的长度是1，最后有1个0的2，6数组的长度是2(包含2个元素)，而最后有2个0的4的长度是4(包含4个元素)。

这样在计算前i项和，需要从i开始，不断把当前位置i的值加入到结果中，并从i中减去i的二进制最低非0位对应的位，知道i变成0为止。

比如要计算前5项（二进制0101）的和，只需要知道bit[5和bit[4]（0100 是0101减去0001得到的）的值就可以了

int bit[MAX_N],n;//区间是[1,n]
int sum(int i)//求前i项的和
{
	int s=0;
	while(i>0)
	{
		s+=bit[i];
		i-=i&-i;//从i中减去i的二进制最低非0位对应的幂
	}
	return s;
}
void add(int i,int x)//给ai加上x
{
	while(i<=n)
	{
		bit[i]+=x;
		i+=i&-i;
	}
}

二维BIT就是在用一个一维BIT数组管理n个其他一维BIT数组，就是说一维BIT数组里存储的是单个值。。。。。

而二维BIT数组里存储的是一个一维BIT数组。。。。

int bit[MAX_N][MAX_N],n,m;
int sum(int x,int y)
{
	int res=0;
	int i,j;
	for(i=x;i>0;i-=i&-i)
		for(j=y;j>0;j-=j&-j)
			res+=bit[i][j];
	return res;
}
int add(int x,int y,int v)
{
	int i,j;
	for(i=x;i<=n;i+=i&-i)
		for(j=y;j<=m;j+=j&-j)
			bit[i][j]+=v;
}

此外还有一维，二维的区间更新，单点查询。

int bit[MAX_N];
int sum(int x)
{
	res=0;
	while(x>0)
	{
		res+=bit[x];
		x-=x&-x;
	}
}
int add(int x,int v)
{
	while(x<=n)
	{
		bit[x]+=v;
		x+=x&-x;
	}
}
int update(int x,int y,int v)
{
	add(x,v);
	add(y+1,-v);
}

int num[MAX_N];
int bit0[MAX_N];
int bit1[MAX_N];
int sum(int *a[],int x)
{
	res=0;
	while(x>0)
	{
		res+=bit[x];
		x-=x&-x;
	}
}
int add(int *a[],int x,int v)
{
	while(x<=n)
	{
		bit[x]+=v;
		x+=x&-x;
	}
}
void init()
{
	for(i=1;i<=n;i++)
	add(c0,i,num[i]-num[i-1]);
	add(c1,i,(i-1)*(num[i]-num[i-1]));
}
void update(int x,int y,int v)
{
	add(c0,x,v);add(c0,y+1,v);
	add(c1,x,v*(x-1));add(c1,y+1,-y*v);
}
int query(int *a[],int *b[],int l,int r)
{
	int sum0,sum1;
	sum0=(l-1)*sum(a,l-1)+sum(a,l-1);
	sum1=r*sum(b,r)+sum(b,r);
	return sum1-sum0;
}

网上的大多数讲解不全面，特此给大家分享一个大神帖，把树状数组的所有变种都涵盖到了。。很全面

大神全面讲解树状数组