二分查找问题以及常见的二分查找变种问题

二分查找

二分查找又叫做折半查找，二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。

每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。

 

查找效率

假设数据大小是 n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，也就是会除以 2。最坏情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。

那么被查找的区间变化就是：n，n/2，n/4，n/8，n/16...n/2的k次方。

这是一个等比数列，其中 n/2的k次方=1 时，k 的值就是总共缩小的次数。

而每一次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过了 k 次区间缩小操作，时间复杂度就是 O(k)。

通过 n/2k=1，我们可以求得 k=log2n，所以时间复杂度就是 O(logn)。

 

O(logn)

O(logn)这种对数时间复杂度，是一种极其高效的时间复杂度，有的时候甚至比时间复杂度是常量级 O(1) 的算法还要高效。

因为 logn 是一个非常“恐怖”的数量级，即便 n 非常非常大，对应的 logn 也很小。

比如 n 等于 2 的 32 次方，大约是 42 亿。也就是说，如果我们在 42 亿个数据中用二分查找一个数据，最多需要比较 32 次。

而O(1) 有可能表示的是一个非常大的常量值，比如 O(1000)、O(10000)。

所以，常量级时间复杂度的算法有时候可能还没有 O(logn) 的算法执行效率高。

 

二分查找的局限性（适用场景）

 

二分查找依赖与顺序表结构。

主要原因是二分查找算法需要按照下标随机访问元素，数组按照下标随机访问数据的时间复杂度是 O(1)

如果换做链表的话，链表随机访问的时间复杂度是 O(n)。如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高。

 

二分查找针对的是有序数据，且数据的插入操作不频繁

二分查找要求数据必须是有序的，如果数据没有序，我们需要先排序。排序的时间复杂度最低是 O(nlogn)。

如果我们针对的是一组静态的数据，没有频繁地插入、删除，我们可以进行一次排序，多次二分查找。

这样的话排序的成本可以被均摊，二分查找的边际成本就会比较低

如果我们的数据集合有频繁的插入和删除操作，要想用二分查找，要么每次插入、删除操作之后保证数据仍然有序。

要么在每次二分查找之前都先进行排序。针对这种动态数据集合，无论哪种方法，维护有序的成本都是很高的。

二分查找只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。

 

数据量太小都不适合二分查找

如果要处理