20、离散傅里叶变换（DFT）的深入解析与应用

离散傅里叶变换（DFT）的深入解析与应用

1. 离散傅里叶变换基础

1.1 序列上采样与DFT系数

当对序列进行上采样操作时，例如将序列 (x(n)) 以因子2进行上采样（即在时间上拉伸2倍，并在每个样本之间插入一个零），得到新序列 (y_3(n))。其 (z) - 变换对应的2 (N) 点DFT系数 (Y_3(k)) 对应于系数 (X(k)) 的两个周期。

1.2 DTFT采样

1.2.1 有限长序列的DTFT采样恢复

设 (h(n)) 是长度为 (N) 的有限长序列，且 (n < 0) 和 (n > N) 时 (h(n)=0)。对其离散时间傅里叶变换（DTFT）在 (3N) 个等间隔点采样，得到 (H(k)=H(e^{j\omega_k}))。通过对这些采样值进行逆DFT运算，可得到序列 (g(n))：
[
g(n) =
\begin{cases}
h(n), & n = 0, 1, \cdots, N - 1 \
0, & \text{else}
\end{cases}
]

1.2.2 特定序列的DFT采样

考虑有限长序列 (x(n)=[1, 1, 1, 1, 1, 1])，其 (z) - 变换为 (X(z))。在 (z_k = \exp(j\frac{\pi}{2}k)) （(k = 0, 1, 2, 3)）处对 (X(z)) 采样，得到DFT系数 (X(k))。通过对这些采样值进行逆DFT运算，可得到序列 (y(n))。

1.3 不同情况下的DFT求解 </