求质数的几种算法(转载)

求i到j之间的所有质数
第一种方法：效率最差，是把i到j之间的每一个数n，都拿出来，挨个循环用n除以从2到n-1的所有整数，如果期间有一个能整除，那么n是合数，继续下一个。

第二种方法：，效率稍好，比第一种方法效率提高一倍，是把i到j之间的每一个数n，都拿出来，挨个循环用n除以从2到n/2的所有整数，如果期间有一个能整除，那么n是合数，继续下一个。

第三种方法：算法效率就高了很多，利用合数定理——如果一个数是合数，那么它的最小质因数肯定小于等于他的平方根。如50的最小质因数是2，它的平方根是7.07，2<=7.07。也可以用反证法证明。

(设a = bq，因为a是合数，则b和q都是大于1的整数.又设q是a的最小质因数，即b>=q.如果q<=根号a不成立，则必有 q>根号a，此时更有b > 根号a，于是a = bq > 根号a*根号a =  a  出现矛盾，故q <=根号a证毕.  )

利用这个原理，只需将i和j之间得某个数n取出，并用循环将n除以从2到根号n之间的所有整数如果期间存在一个数可以整除，那n为合数，否则为质数。

第四种方法：是效率最高的一种方法。首先建立一个布尔型1维数组a，长度为j-i，初始值为true。首先用第三种方法求得i、j之间的第一个质数m。求得m 以后，将所有小于i的m的倍数所在的数组（即a[m的倍数-i]）位置全部设为false。然后进行下一步，从n=m++开始，如果a[n-i]已经被设 置为false，则n++，直到出现首个为true的位置p，再将所有小于i的p的倍数所在的数组位置置为false。继续下一步，直到n>根号j 为止，这样所有为true的数组id（如果i=1则0除外，id从1开始）+i 即为质数。
举个例子。例如要查找 2－100之间的质数，首先2是质数，把2的倍数去掉(比如4,6,8,...,100，对应的数组位置是a[m-2]即 a[2],a[4],a[6],...,a[98]，将这些位置设为false)；进行下一步，此时3没有被去掉（a[2]=true），可认为是质数， 所以把3的倍数去掉（a[5]a[8]a[11],...,a[98]=false）；再到5，再到7，7之后呢，因为8，9，10刚才都被去掉了，而 100以内的任意合数的最小质数因子肯定小于等于10（100的开方），所以，去掉，2，3，5，7的倍数后剩下的都是质数了。最后只要将a[id]中所 有等于true的id值加上i输出即可。按照这个例子是id+2，比如0+2，1+2，3+2，...
相对来说这种算法求1到n之间的质数实现起来比较简单，如果是求任意两个数之间的质数，逻辑上会比较复杂。但是，效率的确提高了很多很多。