一维搜索：二分法

二分法是用来求函数零点的方法，如果函数可导，那么函数的一阶导的零点就是原函数的极值点。但是如果原函数没有极值点，比如一个单调函数，其最值在某一端点。这样求导后就不满足二分法求零点的条件。

1.二分法算法步骤：

(1) 初始化搜索区间$[x_1,x_2]$均值 $x_m= 0.5(x_1+x_2)$, 给定精度要求 $\epsilon>0$, 计算导数$f'=\frac{df}{dx}$; (2) 如果$|x_1-x_2|<\epsilon$算法结束。如果$f'_{x_1}\times f'_{x_m}>0$, 转到步骤(3)，如果$f'_{x_1}\times f'_{x_m}<0$，转到步骤(4)。如果$f'_{x_1}\times f'_{x_m}=0$，$x_m$即为结果，算法结束； (3) 置$x_1 = x_m$，转步骤(5); (4) 置$x_2 = x_m$，转步骤(5); (5) 置$x_m= 0.5(x_1+x_2)$，转步骤(2);

1.二分法代码MALTAB实现：
测试函数：

clc,clear
f = @(x) 2*x.^2 - x - 1; %原函数
df = @(x)4*x - 1;       %一阶导数
a = -3;
b = 0.25;
epsilon = 1e-4;
tic
res = binarySearch(df,a,b,epsilon)
toc
% 符号函数实现
func = sym('2*x^2 - x - 1');
tic
res1 = binarySearch1(func,a,b,epsilon)
toc

传函数句柄方式：

% binarySearch 二分法
%   - 优点：计算量少，而且总能收敛到一个局部极小点，不需要计算导数
%   - 缺点：收敛速度慢，需要函数可导
% Inputs:
%   - df      函数的一阶导数
%   - a       搜索区间下限
%   - b       搜索区间下限
%   - epsilon 精度：用区间长度衡量
% Outputs:
%   -res      搜索结果 
function res = binarySearch(df,a,b,epsilon)
% 检查输入
if df(a)*df(b) > 0 
    display('BinarySearch: 二分法区间端点值同号……'); 
    return; 
end
%初始化
x1 = a;
x2 = b;
mean = 0.5*(x1 + x2);
%计算
while(true)
%     state = [x1 x2]
    if(abs(x1-x2)<epsilon) break; end
    if(df(x1)*df(mean) > 0) 
        x1 = mean;
    elseif(df(x1)*df(mean) < 0)
        x2 = mean;
    elseif(df(x1)*df(mean) == 0)
        res = mean; break;
    end
    mean = 0.5*(x1 + x2);
end
res = 0.5*(x1 + x2);
end

传符号函数方式：

% binarySearch 二分法
%   - 优点：计算量少，而且总能收敛到一个局部极小点，不需要计算导数
%   - 缺点：收敛速度慢
% Inputs:
%   - func    原函数的符号函数
%   - a       搜索区间下限
%   - b       搜索区间下限
%   - epsilon 精度：用区间长度衡量
% Outputs:
%   -res      搜索结果 
function res = binarySearch1(func,a,b,epsilon)
df = diff(func);
% 检查输入
if subs(df,a)*subs(df,b) > 0 
    display('BinarySearch: 二分法区间端点值同号……'); 
    return; 
end
%初始化
x1 = a;
x2 = b;
mean = 0.5*(x1 + x2);
%计算
while(true)
%     state = [x1 x2]
    if(abs(x1-x2)<epsilon) break; end
    if(subs(df,x1)*subs(df,mean) > 0) 
        x1 = mean;
    elseif(subs(df,x1)*subs(df,mean) < 0)
        x2 = mean;
    elseif(subs(df,x1)*subs(df,mean) == 0)
        res = mean; break;
    end
    mean = 0.5*(x1 + x2);
end
res = 0.5*(x1 + x2);
end

结果如下图(函数句柄的方式比符号函数方式计算速度快很多)：