二分查找（Binary Search）

二分查找也叫作折半查找。二分查找有两个要求，一个是数列有序，另一个是数列使用顺序存储结构。他的思想很简单，但是在书写过程中如果边界条件无法正确的确定，很容易陷入到循环中无法跳出。

二段性

二段性是集合中的元素有存在分界线，给定条件可以将集合中元素分为两部分，一部分满足条件，一部分不满足条件。

1. 分界线之前的第一个元素，也就是最后一个满足条件的值，我们称为ML(Meeting Condition Last)
2. 分界线之后的第一个元素，也就是第一个不满足该条件的值，我们称为NB(Not Meeting Condition Begining)

区间问题

此节主要讲二分查找的细节处理，如果要看二分的查找过程不建议看这篇，文中所讲的二分伪代码为：

l = -1,r = N + 1
while l + 1 != r
    m = l + (r - l >> 1)
    if judge(m) // 根据题目修改judge
        l = m
    else
        r = m
return l/r // 最终返回时根据需求进行返回

对于一个给定的数组$0123\cdots (N-4)(N-3)(N-2)(N-1)N$进行二分查找时，需考虑以下步骤

1. 确定左右边界：这里确定左右边界分别为$-1$和$N+1$。

面对查找小于$0$的最后一个数时，如果令左边界的值为$0$，那么左边界的初始条件已经不满足问题要求了，因此采用0作为一个通用的二分求解方法的左边界并不是一个合理的方案。

同理，面对查找大于$N$的第一个数，也不可以令右边界的值为1。

2. 获得中点：使用$m=l+(r-l>>1)$作为获得重点的公式。

采用其他的公式，比如$m=l+r>>1$，也是可以的，但是为了防止$l$与$r$相加导致的数值溢出使用上面的公式。

3. 收缩区间：使用$l=m$和$r=m$作为收缩区间的公式。

为了避免写出死循环，必须保证每次进入$while$之后，可行区间都在变小，且最终推出循环。在此先引出程序终止的条件为$l+1=r$，当面对$l+1=r$，此时以满足终止条件所以无论$l$和$r$取多少，都会退出循环；当面对$l+2=r$，中点为$m=l+1$，此时循环体内的收缩公式会将$m$赋值给$l$或者$r$，再此达到终止条件，退出循环；当面对$l+3=r$，按照$l+2=r$里的分析，其最终会进入到$l+2=r$或者$l+1=r$的条件。

4. 确定终止条件：这里终止条件为$l+1=r$，即循环条件为$l+1!=r$。

因为的目标时遍历整个数组，因此终止条件要确保所有的元素都可以被包含在内。同上面的收缩区间的公式相配合可以构成一个二分查找。

5. $l$和$r$的指向问题

$l$和$r$的指向哪个数值，最终还是取决于judge条件。对于我们要查找小于零第一个数，其judge条件为$m<0$，$l=-1$，$r=0$。

对于一个例子$1,2,3,5,5,5,8,9$：

1. 找到**小于$t$**的最后一个数：

   class Solution {
       public int binarySearch(int[] arr, int t) {
           int l = -1, r = arr.length;
           while (l + 1 != r) {
               int m = l + (r - l >> 1);
               if (arr[m] < t) l = m; // judge条件：如果小于t，则让l=m；否则r=m
               else r = m;
           }
           return l; // 返回l
       }
   }
   
   Solution solution = new Solution();
   System.out.println(solution.binarySearch(new int[]{1, 2, 3, 5, 5, 5, 8, 9}, 5)); // 返回2，对应的值为3
   

2. 找到**小于等于$t$**的最后一个数：

   class Solution {
       public int binarySearch(int[] arr, int t) {
           int l = -1, r = arr.length;
           while (l + 1 != r) {
               int m = l + (r - l >> 1);
               if (arr[m] <= t) l = m; // judge条件：如果小于等于t，则让l=m；否则r=m
               else r = m;
           }
           return l; // 返回l
       }
   }
   
   Solution solution = new Solution();
   System.out.println(solution.binarySearch(new int[]{1, 2, 3, 5, 5, 5, 8, 9}, 5)); // 返回5，对应的值为5
   

3. 找到**大于$t$**的第一个数：（判断条件等价于找到小于等于$t$的最后一个数）

   class Solution {
       public int binarySearch(int[] arr, int t) {
           int l = -1, r = arr.length;
           while (l + 1 != r) {
               int m = l + (r - l >> 1);
               if (arr[m] <= t) l = m; // judge条件：如果小于等于t，则让l=m；否则r=m
               else r = m;
           }
           return r; // 返回r
       }
   }
   
   Solution solution = new Solution();
   System.out.println(solution.binarySearch(new int[]{1, 2, 3, 5, 5, 5, 8, 9}, 5)); // 返回6，对应的值为8
   

4. 找到大于等于$t$的第一个数：（判断条件等价于找到小于等于$t$的最后一个数）

   class Solution {
       public int binarySearch(int[] arr, int t) {
           int l = -1, r = arr.length;
           while (l + 1 != r) {
               int m = l + (r - l >> 1);
               if (arr[m] < t) l = m; // judge条件：如果小于t，则让l=m；否则r=m
               else r = m;
           }
           return r; // 返回r
       }
   }
   
   Solution solution = new Solution();
   System.out.println(solution.binarySearch(new int[]{1, 2, 3, 5, 5, 5, 8, 9}, 5)); // 返回3，对应的值为5 
   

参考文献：

1. 二分查找为什么总是写错？
2. 二分法的边界问题详细分析