图卷积网络（GCN）

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已于 2024-02-23 21:31:36 修改

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分类专栏： GraphGeo 文章标签：网络深度学习机器学习

于 2024-01-23 18:59:55 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/sinat_41942180/article/details/135774195

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本文深入探讨图卷积网络（GCN），包括GCN概述、模型定义和数学推导。GCN是一种用于图数据的深度学习模型，通过邻接矩阵进行节点信息的传播和融合。文章详细介绍了Laplacian矩阵及其对称归一化，并阐述了如何使用Chebyshev多项式近似计算图卷积。

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本文主要分为两部分，第一部分介绍什么是GCN，第二部分将进行详细的数学推导。

一、什么是GCN

1、GCN 概述

本文讲的GCN 来源于论文：SEMI-SUPERVISED CLASSIFICATION WITH GRAPH CONVOLUTIONAL NETWORKS，这是在GCN领域最经典的论文之一。

我们可以根据这个GCN的图看到，一个拥有C个input channel的graph作为输入，经过中间的hidden layers，得到F个 output channel的输出。（注意本文讲的图都特指无向无权重的图。）

图卷积网络主要可以由两个级别的作用变换组成：

（1）graph level

例如说通过引入一些形式的pooling 操作 (see, e.g. Duvenaud et al., NIPS 2015)，然后改变图的结构。但是本次讲过GCN并没有进行这个级别的操作。所以看到上图我们的网络结构的输出和输出的graph的结构是一样的。

（2）node level

通常说node level的作用是不改变graph的结构的，仅通过对graph的特征/（features/signals）X作为输入：一个 $N\times D$ 的矩阵( $N$ : 输入图的nodes的个数， $D$ 输入的特征维度) ，得到输出 $Z$ ：一个 $N\times F$ 的矩阵( $F$ 输出的特征维度)。
a) 一个特征描述（feature description） $x_{i}$ : 指的是每个节点 $i$ 的特征表示

b) 每一个graph 的结构都可以通过邻接矩阵 $A$ 表示（或者其他根据它推导的矩阵）

我们可以很容易的根据一个邻接矩阵重构出一个graph。例如下图： $G=(V,E)$ ，其中 $V$ 代表节点， $E$ 代表边

我们通过构造 $\left | V \right |\times \left | V \right |$ 的矩阵可以得到邻接矩阵 $A$ , 其中 $A_{ij}=1$ 如果节点 $i$ 和节点 $j$ 相连，否则 $A_{ij}=0$ ，我们根据graph可以得到 $A$ ，同理通过 $A$ 也可以得到graph 的结构。