整数benders分解算法

benders分解是将问题分为限制主问题和子问题，然后主问题向子问题传入变量，接着根据子问题求解的信息向主问题返回割（最优割和可行割），这些割以约束的形式被添加到主问题中。其中，子问题因为求解得到的解是可行的，是上界Ub，主问题因为添加的约束不够，可行域缩小，是下界。不断重复上述过程，直到Ub=Lb，即限制主问题中已经添加了所有应该添加的完备的约束信息，当前限制主问题与原始问题等价，求解结束，输出最优解。

割其实描述的子问题告诉限制主问题的信息，告诉限制主问题先前提供的解好不好，以及指导下一步该怎么做。

上述是benders分解算法的思路。根据主问题MP和子问题SP特点的不同，可以分为经典的benders算法和广义的benders算法（区别是前者是线性对偶，后者是推理对偶），后者又可以分为整数benders算法和逻辑benders算法。因此benders算法可以分为三类，经典的benders算法、整数benders算法、和逻辑benders算法。

经典benders算法可以参见：
(1) benders分解算法 逻辑思路整理
(2) benders decompositon学习笔记记录

逻辑benders算法可以参见：逻辑benders分解。

本节详细介绍整数benders分解。

1.整数benders分解问题结构：

当限制主问题LMP是0-1规划问题，而子问题SP是整数规划问题时，可以采用整数benders分解算法求解。

正因为有上述特性，因此可以利用上述特性来构造割的信息进而进行求解。

2.整数benders算法介绍：

类比经典的benders分解算法，即子问题包含在原始问题（原问题）中，因此子问题的求解信息与原问题是同步的。

（1）子问题假如不可行，那么原问题也不可行；
（2）子问题可行，那么原问题也可行；
（3）子问题无界，那么原问题也无界。

因为子问题不可行，原问题不可行，没有优化的意义，因此我们不需要考虑这种情况。需要考虑的是后两种。（这是经典benders分解中的内容）

我们需要考虑的是子问题可行以及子问题无界的情形，即返回最优割和可行割的情形。

那么现在的问题变为了对偶问题如何与子问题建立联系？经典benders中的对偶理论中的内容不再适用。通过推理的方式来构造对应的割。

（1）可行割

首先考虑可行割，即求解子问题得到的解是无界的，那么我们需要排除掉这个情形，即下一次不能再给子问题输入这样的解了。

可以构造可行割如下：
$$\sum _{j:\hat{y}=0}{y}_j+\sum _{j:\hat{y}=1}(1-y_j)\ge 1$$

分析如下：
我们需要排除目前的这个解，即这个解不满足该约束。将该解代入约束，发现约束左边为0+0=0，右边为1,0≥1是不满足的。因此可以把该解排除。

可行割利用的就是主问题是0-1规划的性质，解只能取0/1，因此可以构造上式。

（2）最优割

以下是最优割，即子问题输出的解是原问题的上界，我们需要构造出不等式来指导下一步前进的方向。

可以构造最优割如下：
$$q\ge \varphi (\bar{y})-\left[\varphi (\bar{y})-L\right][\sum _{j:\bar{y}=0}{y}_j+\sum _{j:\bar{y}=1}(1-y_j)]$$

分析如下：

其中，第一部分$\varphi (\bar{y})$表示松弛子问题的解，与经典benders分解子问题的解是一样的。后面两部分是整数benders和经典benders的区别。

我们注意到子问题是整数规划，为了求得它的值，我们可以构造松弛子问题LSP，求解LSP对偶问题可以为SP问题提供一些信息。

$L$是松弛子问题LSP（输入所有的$\varphi (\bar{y})$中）的最小值（有效下界），$\left[\varphi (\bar{y})-L\right]$表示松弛子问题LSP与有效下界之间的差距，表明的是前进的方向。而第三项$[{\sum }_{j:\bar{y}=0}{y}_j+{\sum }_{j:\bar{y}=1}(1-y_j)]$表示$y$的变化量，二者一综合提供了方向和步长。若使用推理的形式写出，描述如下：

上述是经典benders分解，下述是整数benders分解的推理过程。可以看到${\lambda }^T$其实就是我们构造的$\left[\varphi (\bar{y})-L\right]$。$(y-{\bar{y}}_k)$其实就是我们构造的第三项$[{\sum }_{j:\bar{y}=0}{y}_j+{\sum }_{j:\bar{y}=1}(1-y_j)]$。

至此，构造出对应的最优割和整数割，求解完毕。

但该法有个问题，即每次添加的可行割只去除了一个解，效率是非常低的。我们需要根据问题的结构设计出有效的可行割，这也是逻辑benders分解的内容。也是论文发表的方向。

参考资料：
069-线性规划（十四）：整数Benders分解