快乐地打牢基础（2）——强连通分量

一、定义

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在有向图$G$中，如果两个顶点$u,v$间尊在一条$u$到$v$的路径且也存在一条$v$到$u$的路径，则称这两个顶点$u，v$是强联通的（strongly
connected）。如果有向图$G$是一个强连通图，有向非强连通图的极大强连通子图，称为强连通分量（strongly connected components）。

极大强连通子图：$G$是一个极大强连通子图，当且仅当$G$是一个强连通子图且不存在另一个强连通子图$G^{\prime }$，使得$G$是$G^{\prime }$的真子集。

举个例子：
在下图中，子图 { 1 , 2 , 3 , 4 } {\{1,2,3,4\}} { 1,2,3,4}是一个强连通分量，因为顶点$1,2,3,4$两两可达， { 5 } , { 6 } {\{5\},\{6\}} { 5},{ 6}也是两强连通分量。

应用：若将原图所有的强连通分量都缩为一个点，那么原图就会形成一个DAG(有向无环图)

二、Kosaraju算法

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基于两次DFS的有向图强连通子图的算法。时间复杂度$O(n+m)$

算法过程：
Ⅰ.对原有向图$G$进行DFS，记录结点访问完的顺序$d[i]$,$d[i]$表示第$i$个访问完的结点是$d[i]$。

Ⅱ.选择具有最晚访问完的顶点，对反向图$GT$进行DFS，删除能够遍历到的顶点，这些顶点构成一个强连通分量。

Ⅲ.如果还有顶点没有删除，继续第二步，否则算法结束。

举个栗子：

第一次遍历的访问次序是1,2,3,4；访问完成的顺序是3,2,1,4.。

第二次遍历是按照“访问完成的顺序”从后向前访问，所以第二次是先从4开始，然后是1,2，最后是3。

最后我们可以求出三个强连通分量： { ( 4 ) , ( 1 , 2 ) , ( 3 ) } {\{(4),(1,2),(3)\}} { (4),(1,2),(3)}。

算法模板：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int Max = 101;
int vis[Max]={
   0},mapp[Max][Max],d[Max],n,t=0;
void dfsone(int x) {
   
	vis[x] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
   
		if(!vis[i] && mapp[x][i]) dfsone(i);
	}
	d[++t] = x;
}
void dfstwo(int x) {
   
	vis[x] = t;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		if(!vis[i] && mapp[i][x]) dfstwo(i);
}

void Kosaraju() {
   
	int i;
	t = 0;
	//进行第一次DFS遍历
	for(i = 1; i<= n; i++)
		if(!vis[i]) dfsone(i);
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	t = 0;
	printf("\nd[i]:\n"