【算法青年】最长回文子序列

刚刚考完操作系统，虽然操作系统考试已经跪了，但是算法OJ还得继续写（我哭爆），好在这次算法OJ（作业8）不难，是两道简单的动态规划问题，下面是问题A

问题 A: 最长回文子序列

时间限制: 1 Sec  内存限制: 75 MB

题目描述

回文：一个序列是回文的，是指这个序列从左往右读，从右往左读是一样的。

子序列：一个序列a₁, a₂, …, a_n，它的子序列指的是从中任选几个元素，按照其原先序号从小到大排好。比如a₅, a₉, a₁₁就是原序列的一个子序列（假设n>=11）。

求：一个序列的最长回文子序列的长度。

输入

一个字符序列，字符之间以空格隔开

输出

最长回文子序列的长度

样例输入 A C G T G T C A A A A T C G

样例输出 8

提示

算法的时间复杂度不要超过O(n²)
使用short而不是int以节省内存
使用scanf而不是cin来节约时间和内存
少做没有意义的操作，否则可能会时间超限

以上就是问题A，求最长回文子序列。首先什么是回文子序列呢，就是正着看和倒着看都一样的序列。注意这里是子序列，而不是字串，如果是字串，那么还隐含了另一个条件，那就是连续。

这道题直观上看是需要使用递归的，对于给定长度，设为n，的字符序列A[1...n]，A[1...n]中最长子序列的长度分为以下两种情况：

1、A[1] == A[n]

    这种情况下，A[1...n]的最长回文子序列长度是A[2...n-1]最长回文子序列的长度加2。可以证明A[2...n-1]的最长回文子序列的长度不短于A[1...n-1]和A[2...n]，而又有A[1]==A[n]，所以A[1]， A[n]加上A[2...n]中最长回文子序列的长度是要大于A[1...n-1]和A[2...n]的，这就证明了算法的正确性。

2、A[1] != A[n]

    这种情况下，1中那种情况已经是不可能了，因此只有从剩下的两种情况——A[1...n-1]和A[2...n]的最长回文子序列长度中选取那个最大的了。

递归伪代码如下（请注意！伪代码加*注释的行没有考虑边界条件）

MAX_SEQ(A, begin, end){

    if A[begin] == A[end]

        return 2 + MAX_SEQ(A, begin + 1, end - 1);    //*

    else

        return max{MAX_SEQ(A, begin, end - 1), MAX_SEQ(A, begin + 1, end)};    //*

}

众所周知的是，递归效率极其之低，以至于尽管是一道规模不大OJ题，OJ服务器也不想拿出很多时间和资源去进行递归计算（开玩笑的）。动态规划的出现就是为了解决递归中存在的巨量冗余计算，其思想就是把已经执行过一遍的计算记录下来，下次再执行这个计算时，直接将上一次的计算值取出来使用，避免了二次计算。

动态规划相关知识参见《算法设计与分析》（黄宇 著    机械工业出版社）第14章.

这道题是从字符序列的两端向内求解，需要记录从i开始到j这段字符序列中最大回文序列，i和j都是可变动值，因此是一个二维的动态规划问题。以下给出动态规划数组递归式：

MAX_SEQ[i, j] =      2 + MAX_SEQ[i + 1, j - 1]， seq[i] == seq[j] && i + 1 < j

                                2，    i + 1 == j

                                max{MAX_SEQ[I, j - 1], MAX_SEQ[i + 1, j] }， seq[i] != seq[j]

最终输出MAX_SEQ[0, n-1]即可。

实现中的一些问题：

1、动态二维数组

动态数组使用起来很方便，但是动态数组只能有一维是动态的，所以不可能进行如下申请：

int* MAX_SEQ = new int[seq.size][seq.size];

而神器vector又只是一维的。那不想额外浪费空间（注意到本题内存限制高达75MB，而我只用了8MB。。。所以节省空间的考虑可能是多此一举的），该怎么办呢，是不是有想自己封装动态数组的想法？回忆前几次OJ中，用vector储存图结构时，每个点的结构体内部又封装了一个vector，便自然而然产生了以下办法，在vector中嵌套一个vector，具体实现如下：

vector<vector<int>>MAX_SEQ(seq.size);

这样就有了一个二维动态数组，但是每一行现在都是空的，此时利用vector提供的resize函数(注意！不是reserve函数！)对列进行扩充，如下：

for(int i = 0; i < seq.size; i++)

    MAX_SEQ[i].resize(seq.size);

这样，就成功申请了一个size*size的二维数组，满足了按需取内存的要求

2、初始化和计算顺序问题

首先要把MAX_SEQ[i][i]初始化为1，因为任何长度为1的序列都是回文序列。

计算动态规划数组时，显然要贴着矩阵(二维数组)的对角线计算，从程序的空间局部性和for循环的易读性考虑，建议从倒数第二行往前，每一行从对角线往右遍历

for i = seq.size - 2 to  0 do

    for j = i + 1 to seq.size - 1 do

        /*do what you want to do*/

鸣谢

Aaron leo