Codevs 1305 Freda的道路(矩阵乘法 DP优化)

最新推荐文章于 2022-10-18 17:51:52 发布

nancheng58

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分类专栏： Codevs 动态规划零基础数学相关

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在本篇博客中，我们探讨了一个有趣的算法问题——如何计算角色Freda在前往Rainbow城堡的过程中，在仅允许一次错误转向的情况下，有多少种不同的路径可以到达目的地。通过使用动态规划和矩阵乘法的方法，我们实现了高效的解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1305 Freda的道路
时间限制: 1 s
空间限制: 128000 KB
题目等级 : 大师 Master
题目描述 Description
Freda要到Rainbow的城堡去玩了。我们可以认为两座城堡位于同一条数轴上，Freda的城堡坐标是0，Rainbow的城堡坐标是N。正常情况下，Freda会朝着同一个方向（即Rainbow的城堡相对于Freda的城堡的方向）走若干步之后来到Rainbow的城堡，而且步长都为1或2。可是，今天Freda在途中遇见了来自上海的小猫Resodo，惊奇之下，居然有一步走反了方向！不过，Freda并没有神智不清，它只有一步走反了方向，而且这一步的步长也是1或2. 同时，Freda并不会路过Rainbow的城堡而不停下来。当然，Freda是在途中遇到Resodo的，所以它不会在自己家门口就走错方向。
举个例子，如果Rainbow的城堡坐标是3，那么下面两条路径是合法的：
0->1->2->1->3
0->1->-1->1->3
当然，还有其它的合法路径。下面这些路径则是不合法的：
0->-1->1->3 （Freda不可能第一步就走错方向）
0->1->3（Freda一定是有一步走错方向的）
0->2->1->0->2->3（Freda只有一步是走错方向的）
0->-1->0->3（Freda每步的长度一定是1或2）
0->1->2->4->3（Freda不会越过Rainbow的城堡再回来）
0 -> 1 -> 2 -> 3 -> 2 -> 3（Freda一旦到达了Rainbow的城堡，就会停下来）
你现在需要帮助Freda求出，它一共有多少种方法能够到达Rainbow的城堡呢？
输入描述 Input Description
一行一个整数N，表示Rainbow城堡的坐标
输出描述 Output Description
一行一个整数，表示Freda到Rainbow城堡的不同路径数。由于这个数字可能很大，你只需要输出它mod 1000000007的结果。
样例输入 Sample Input
2
样例输出 Sample Output
5
数据范围及提示 Data Size & Hint
对于第一组样例，如下5条路径是合法的：
0->1->0->2
0->1->-1->0->1->2
0->1->-1->0->2
0->1->0->1->2
0->1->-1->1->2
数据范围与约定
对于10%的数据，N<=20.
对于70%的数据，N<=1000.
对于90%的数据，N<=1000000.
对于100%的数据，N<=10^15.
分类标签 Tags
动态规划矩阵乘法数论

/*
矩阵乘法 DP优化.
这题一开始激动了,以为多扩展两项就OK 然后全W了.
如果一开始没有沙茶想法的话去想DP的话,
这题应该能自己做出来.
设DP状态.
f[i][0/1]走到i有无回头的不同路径条数.
显然的有
f[i][0]=f[i-1][0]+f[i-2][0].
f[i][1]=f[i-1][1]+f[i-2][1]+f[i+1][0]+f[i+2][0].
然后我们惊喜地发现递推能得90分2333.
f[i][1]只与f[i-1][1],f[i-2][1],f[i+1][0],f[i+2][0]有关.
然后搞个4*4的矩阵 自己推一推就好了.
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define LL long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
LL n,ans[5][5],c[5][5];
LL b[5][5]={{0,0,0,0,0},{0,1,0,0,1},{0,1,1,1,0},{0,1,1,0,0},{0,1,0,0,0}};
void mi()
{
    while(n)
    {
        if(n&1)
        {
            for(int i=1;i<=4;i++)
              for(int j=1;j<=4;j++)
                for(int k=1;k<=4;k++)
                  c[i][j]=(c[i][j]+ans[i][k]*b[k][j]%mod)%mod;
            for(int i=1;i<=4;i++)
              for(int j=1;j<=4;j++)
                ans[i][j]=c[i][j],c[i][j]=0;
        }
        for(int i=1;i<=4;i++)
          for(int j=1;j<=4;j++)
            for(int k=1;k<=4;k++)
              c[i][j]=(c[i][j]+b[i][k]*b[k][j]%mod)%mod;
        for(int i=1;i<=4;i++)
          for(int j=1;j<=4;j++)
            b[i][j]=c[i][j],c[i][j]=0;
        n>>=1;
    }
}
void slove()
{
    n-=2;
    ans[1][1]=5,ans[1][2]=8,ans[1][3]=5,ans[1][4]=0;
    mi();
}
int main()
{
    cin>>n;
    if(!n||n==1){printf("1");return 0;}
    else if(n==2) {printf("5");return 0;}
    slove();
    cout<<ans[1][1];
    return 0; 
}