Bzoj 2154: Crash的数字表格(积性函数)

最新推荐文章于 2025-03-17 17:58:34 发布

nancheng58

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2154: Crash的数字表格
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Description
今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下： 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。
Input
输入的第一行包含两个正整数，分别表示N和M。
Output
输出一个正整数，表示表格中所有数的和mod 20101009的值。
Sample Input
4 5
Sample Output
122
【数据规模和约定】
100%的数据满足N, M ≤ 10^7。

/*
积性函数.
   n   m
求∑  ∑lcm(i,j).
  i=1 j=1
推一波式子.
ans=∑(s[n/i]*s[m/i]f[i]).
s[i]=(i*(i+1)/2).
f[i]=i*∑u(d)*d.
     d|i 
然后主要问题就是怎么求f[i]了.
这个东西是积性函数.
筛一下就好了.
复杂度O(n).
算答案的时候不用除法分块可能过不了?
也许是我写的常数比较大吧... 
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define LL long long
#define MAXN 10000010
#define mod 20101009
#define ni 10050505
using namespace std;
int pri[MAXN],tot,sum[MAXN];
LL n,m,ans,f[MAXN],s[MAXN];
bool vis[MAXN];
void pre()
{
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
      {
        if(!vis[i]) pri[++tot]=i,f[i]=1-i;
        for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;j++)
        {
            vis[i*pri[j]]=true;
            if(i%pri[j]) f[i*pri[j]]=(f[i]*f[pri[j]])%mod;
            else
            {
                f[i*pri[j]]=f[i];
                break;
            }
        }
      }
    for(LL i=1;i<=n;i++) sum[i]=(sum[i-1]+f[i]*i)%mod;
}
void slove()
{
    int last;
    for(LL i=1;i<=n;i++) s[i]=((i*(i+1))%mod*ni)%mod;
    for(LL i=1;i<=m;i=last+1)
    {
        last=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans=(ans+(s[n/i]%mod*s[m/i]%mod*(LL)(sum[last]-sum[i-1]))%mod+mod)%mod;
    }
    cout<<ans;
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    if(n<m) swap(n,m);
    pre();slove();
    return 0;
}