背包问题——动态规划

最新推荐文章于 2025-07-05 20:15:34 发布

linjiafengyang

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分类专栏：算法文章标签：动态规划算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/sinat_31790817/article/details/78384640

本文详细介绍了背包问题的四种类型：单副本背包、可重复背包、二维背包和分组背包，通过动态规划的方法求解每种问题，给出了相应的状态转移方程和伪代码，并展示了程序运行结果。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

背包问题——动态规划

一、单副本背包（经典的0/1背包问题）
问题描述：

单副本背包问题：
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的体积是c[i]，价值为w[i]
求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

分析：

用f[i][v]表示前i件物品放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值，如果我们能计算出所有f[i][v]的值，那么f[N][V]就是答案

用动态规划算法解决问题的主要思路就是将原问题转化为规模更小的子问题.
因此我们假设对于只有i-1件物品的情况下，我们已经求得背包容量为0到V时的最优值，也就是说所有的f[i-1][v]的值都已求出
我们再来考虑有i件物品的情况，如果第i件物品不放进容量为v的背包，则f[i][v] = f[i-1][v].
如果第i件物品放进容量为v的背包，则f[i][v] = f[i-1][v-c[i]] + w[i]. 这种情况只有当v>=c[i]时才有可能.
最后，我们还需要再考虑一下动态规划的边界条件，当i=0，也就是没有任何物品的情况下，显然对于任意的容量v，f[0][v]=0
综上，我们可以得到动态规划的状态转移方程：

解法一：
这里写图片描述
代码如下：

/*
单副本背包问题：
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的体积是c[i]，价值为w[i]
求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
 */
#include <iostream>
using namespace std;

int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}
// （空间复杂度为O(NV)
int KP(int N, int V, int c[], int w[]) {
    int f[N + 1][V + 1];
    for (int v = 0; v <= V; v++) {
        f[0][v] = 0;
    }
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        for (int v = 0; v <= V; v++) {
            if (v < c[i]) f[i][v] = f[i - 1][v];
            else f[i][v] = max(f[i - 1][v], f[i - 1][v - c[i]] + w[i]);
        }
    }
    for (int i = 0; i <= N; i++) {
        for (int v = 0; v <= V; v++) {
            cout << f[i][v] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return f[N][V];
}
int main() {
    int N, V;
    cin >> N >> V;