理解导向滤波原理

一、性质

引导滤波的特性是：

当引导图比较陡峭时，输出图像应随着引导图变化而变化，当引导图较为缓和时，输出图像应接近输入图像。

二、原理

引导滤波的思想是：

认为输出图像与引导图像在 小范围 内是 线性关系 ，将起伏不定的连续像素看成一段段的小线性函数，每一小段的公式如下：

$q_i=a_k{I}_i+b_k$

其中i是像素坐标，I为引导图像素值，q为线性函数拟合的输出图像，ak、bk是线性函数的两个参数，我们将这个线性函数的适用范围记为k。

也就是说，输出图像要跟着导向图的趋势走，在一个小范围内，如果导向图是平坦的，那么a趋近于0，输出图像q应等于b，如果导向图较为陡峭，a很大，则输出图像q应接近a*I

（当导向图为原图时，a*I相当于原图乘以一个系数，当a=1、b=0，那直接就是原图）

三、损失函数

由上一节的线性公式得知，如果变化是陡峭的，斜率是大的，那系数a可以很容易通过初一的知识得到：

$a=\frac{\Delta q}{\Delta I}$

但如果变化是平坦的，b又该如何得到呢？这时候就该原图登场了，由第一节的概念可知，平坦时输出图像应接近原图，因此可写作下面的式子：

$q_i-p_i=n_i$

这里n代表原图与输出的误差。

为了成功还原原图，我们需要最小化误差n，因此常用的损失函数如下（令E最小）：

$E(a_k,b_k)={\sum }_{i\in w_k}^{}(q_i-p_i{)}^2$

这里的wk代表滤波窗口的范围，将q展开：

$E(a_k,b_k)={\sum }_{i\in w_k}^{}(a_k{I}_i+b_k-p_i{)}^2$

分别令E对a和b求导，得到a与b的解之后，我们的线性函数能够较为完美的拟合原图，以至于当引导图为原图时，输出完全就是原图。如果最终的结果是这样，那就很难做到保边缘滤波了。因为已经完全没有了滤波。

通常，我们还是希望能够控制这种拟合的程度，在机器学习中，为了防止过拟合，需要在损失函数中引入正则化，在这里也可以同样操作：

$E(a_k,b_k)={\sum }_{i\in w_k}^{}((a_k{I}_i+b_k-p_i)+ϵa_k^2{)}^2$

其中$ϵ$叫做正则化系数，可以调节拟合程度，当取值为0时，平坦区域就更接近原图。
用自变量前面的参数来防止过拟合的原因，大体可以解释如下：

拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』。
https://blog.youkuaiyun.com/jinping_shi/article/details/52433975
不懂就记住好了。。

对加入了正则化项的公式求ak、bk的偏导，令导数为0，可求得：

$b_k=\overline{p_k}-a_k\overline{I_k}$

$a_k=\frac{\overline{p_k{I}_k}-\overline{p_k}\overline{I_k}}{{\sigma }^2+ϵ}$

公式中出现了均值和方差，这都是在求导过程中凑出来的。

至此，输出图像可直接由$q_i=a_k{I}_i+b_k$算出。

四、保边缘滤波

当引导图为原图时，导向滤波是一个很好的保边缘滤波器，怎么理解呢？要从ak和bk的公式说起。

根据第三节最后的公式，我们令Ik等于pk，可得：

$a_k=\frac{\overline{p_k^2}-{\overline{p_k}}^2}{{\sigma }^2+ϵ}=\frac{{\sigma }^2}{{\sigma }^2+ϵ}$

$b_k=(1-a_k)\overline{p_k}$

请出关键公式(I已经替换为p)：

$q_i=a_k{p}_i+b_k$

在图像的边缘处，方差较大，ak趋于1，bk趋于0，输出图像等于输入图像，实现保边缘

在图像的平坦/纹理处，方差较小，ak较小，输出更接近bk，而bk趋于图像均值$\overline{p_k}$，实现均值滤波

滤波的程度则由$ϵ$控制，其为0时，输出永远等于输入图像，与第三节的结论相同。