推广的欧几里得算法--对于求解 线性模方程 有用

问题描述： d=gcd(a,b)=ax+by, （1）求出满足条件的x和y。

这个问题的求解有助于计算模乘法的逆。

Extended-Eculid要求输入两个非负整数，返回一个满足方程(1)的 triple (d,x,y)

a   b   floor(ab) d x y

[function begin]

extended-euclid(a,b)

if b==0 return (a,1,0) // 递归的出口：求解x和y不需要初始值，因此递归的出口处有初始值，x=1，y=0；

(d',x',y')=extended-euclid(b,a mod b) //递归步骤：与经典euclid方法一致，因为最大公约数都是一样的。

(d,x,y)=(d',y',x'-floor(a/b)*y)// 更新步骤

return (d,x,y)

[function end]

解说

(d',x',y')=extended-euclid(b,a mod b) //递归

这个关键的递归步骤中，d=ax+by（1）

 因此 d=bx'+(amodb)， 即extended-euclid(b,a mod b)中b充当a的角色，amodb充当b的角色

所以d=bx'+[a-floor(a/b)*b]*y'=ay'+b(x'-floor(a/b)*y'),  因此对于d=ax+by(1)，此时选择了 x=y',y=x'-floor(a/b)*y'，即递归下面的更新步骤