SVM-笔记(1)

1 - 目的。

SVM推导是从讨论最优超平面开始的，即为了得到一个能够划分不同超平面的面，即公式1：

$$\begin{equation}w^Tx+b=0 \tag{1} \end{equation}$$
这个公式怎么来的，其实就是基于2维推导过来的，当二维图像时，也就是熟悉的x，y坐标系。我们将一条线的函数公式定义为 $Ax+By+C=0$，其法向量为（A,B），而平面上任意一点(x0,y0)到该线的距离为 [参考]：式子2 $$d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \tag{2}$$
类比得到，多维平面上的某个“线”，其公式为 $Ax+By+Cz+D=0$，可以看出就是一个向量 $w = [A,B,C]$与另一个向量 $X = [x,y,z]$之间的内积加上一个常量D。也就是上述式子1。所以，SVM中某点到该“线”的距离公式从式子2类比得到为，式子3： $$r = \frac{|w^Tx+b|}{||w||} \tag{3}$$
其法向量为 $w$。

ps:下面参考自周志华老师的《机器学习》，支持向量机部分。

2 - 最优超平面

为了方便，则将此超平面记为$(w,b)$。我们取二分类样本，即样本标签为 $\{+1,-1\}$。我们希望超平面能够正确分类，也就是对于 $y_i = +1$的样本， $w^Tx_i+b>0$;而对于 $y_i = -1$的样本， $w^Tx_i+b<0$。
ps:这里需要接着解释下为什么间隔取1，此部分资料在Andrew Ng的网易公开课讲义部分有说道，后续有空我过来补齐。
而为了获得最优的超平面，我们假设离该平面最近的点到该平面距离至少为1.则满足下面式子4：

$$\begin{cases} w^Tx_i+b \geq +1, y_i = +1\\ w^Tx_i+b \leq -1, y_i = -1 \end{cases} \tag{4}$$
所以两个不同类别之间最小的距离为，式子5: $$r = \frac{2}{||w||} \tag{5}$$
所以式子5，也被称为”间隔”（margin）。

如果将该间隔最大化，那么也就是找到了最优超平面，因为该超平面就是中间那条线，而图上虚线上的正负点，就是所谓的支持向量。即只有这些点才对最优超平面的选取有关。
所以，问题就转换成了求取下面方程式的问题，式子6：
$$\begin{cases} max_{w,b} \quad \frac{2}{||w||}\\ s.t.\quad y_i(w^Tx_i+b) \geq 1, \quad i=1,2,...,m \end{cases} \tag{6}$$
可以看到所谓最大化一个分数，其分子不变，也就是最小化一个分母即可，即式子6等同于式子7：
$$\begin{cases} min_{w,b} \quad \frac{1}{2}||w||^2\\ s.t. \quad y_i(w^Tx_i+b) \geq 1, \quad i = 1,2,...,m \end{cases} \tag{7}$$

3 - 拉格朗日浅析

式子7，是一个凸二次规划问题，也就是其一定会有最值存在，为了更快的进行求解，需要用到拉格朗日乘子方法。其实拉格朗日乘子法，在《同济版高数书 第9章多元函数微分法及其应用 第8节多元函数的极值及其求法》上有简单介绍，不过其并没说到KKT等情况，这里还是以网上别人博客作为参考[2,3]：

“拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier)和KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件是求解约束优化问题的重要方法，在有等式约束时使用拉格朗日乘子法，
在有不等约束时使用KKT条件。前提是：只有当目标函数为凸函数时，使用这两种方法才保证求得的是最优解”[2].

如博文[3]所说，一般最优化问题，通常为3种,：
(1)无约束优化问题,:

$$min \quad f(x) \tag{8}$$
(2) 等式约束优化问题，假设有n个等式约束：
$$\begin{cases} min \quad f(x)\\ s.t. \quad h_i(x) = 0;i =1,...,n \end{cases} \tag{9}$$
(3)不等式约束优化问题，假设有n个等式约束，m个不等式约束：
$$\begin{cases} min \quad f(x),\\ s.t. \quad h_i(x) = 0; i=1,...,n\\ \qquad\quad g_i(x) \leq 0; j = 1,...,m \end{cases} \tag{10}$$

“对于第(1)类的优化问题，常常使用的方法就是Fermat定理，即使用求取$f(x)$的导数，然后令其为零，可以求得候选最优值，再在这些候选值中验证；
如果是凸函数，可以保证是最优解”[3]。

即直接求其导数，然后求得导数为0的解即可。

“对于第(2)类的优化问题，常常使用的方法就是拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier) ，即把等式约束h_i(x)用一个系数与f(x)写为一个式子，
称为拉格朗日函数，而系数称为拉格朗日乘子。通过拉格朗日函数对各个变量求导，令其为零，可以求得候选值集合，然后验证求得最优值”[3]。

即先将函数$f(x)$与其约束函数$h_i(x)$变换成一个单一函数，即：

$$L(x,\lambda) = f(x)+\lambda h(x)$$ 详细点说，就是： $$L(x,\lambda) = f(x)+\sum_{i=0}^n \lambda_ih_i(x)$$ 然后基于这个函数对变量 $x$,$\lambda$求导，并将取值为0的解带入原问题中，比较哪个值最小，从而得到最优解。

“对于第(3)类的优化问题，常常使用的方法就是KKT条件。同样地，我们把所有的等式、不等式约束与f(x)写为一个式子，也叫拉格朗日函数，
系数也称拉格朗日乘子，通过一些条件，可以求出最优值的必要条件，这个条件称为KKT条件”[3]。

如上一样，只是函数变成了：

$$L(x,a,b) =f(x)+ \sum_{i=0}^na_ih_i(x)+\sum_{i=0}^mb_ig_i(x) \tag{11}$$
然后针对每个变量参数求导，通过联合所有的求导式子，将其等于0，求得极值点，再将极值点带入，求得最值点即可。而KKT中有个要求即 $b_ig_i(x)=0$,但因为 $g_i(x) \leq 0$，所以要么 $b_i = 0$,要么 $g_i(x)=0$。而这也和SVM中的支持向量有很密切的关系。

4 - 对偶问题

可以看出式子7可以通过KKT求解，添加拉格朗日乘子$\alpha_i \geq 0$写成拉格朗日函数为,式子12：

$$L(w,b,\alpha)=\frac{1}{2}||w||^2+\sum_{i=1}^m \alpha_i(1-y_i(w^Tx_i+b)) \tag{12}$$
其中 $\alpha_i \geq 0$,这样就保证了后面一项一定小于0。其中 $$\alpha = (\alpha_1;\alpha_2;...;\alpha_m) \tag{13}$$ 将 $L(w,b,\alpha)$对 $w$,$b$进行求偏导得,式子14，式子15：
$$\begin{cases} w=\sum_{i=1}^m \alpha_i y_i x_i \tag{14,15}\\ 0 = \sum_{i=1}^{m}\alpha_i y_i \end{cases}$$
将上述式子14带入 $L(w,b,\alpha)$，将 $w$,$b$消去，再考虑式子15，得如下对偶问题， 式16:
$$\begin{cases} max_\alpha \quad \sum_{i=1}^m\alpha_i - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m\alpha_i\alpha_j y_i y_j x_i^T x_j \\ s.t. \qquad \sum_{i=1}^m \alpha_i y_i =0, \\ \qquad \qquad \alpha_i \geq 0, i=1,2,...,m \end{cases} \tag{16}$$
在求得 $\alpha$向量时，则通过式子14，即可得到 $w$，从而带入原式子，得到，式17：
$$\begin{eqnarray}f(x,y) &=&w^T+b\\ &=&\sum_{i=1}^m \alpha_i y_i x_i^Tx+b \end{eqnarray} \tag{17}$$
这里的拉格朗日乘子就是 $\alpha$,其中每一个变量 $\alpha_i$都对应着一个样本 $(x_i,y_i)$,且式子7中还有不等式存在，按照之前KKT部分说的，要求 $(L(x,a,b))$不等式部分等于0，即 $\alpha_i(y_if(x_i) - 1) = 0$,则要求联合一起，得到如下约束：
$$\begin{cases} \alpha_i \geq 0; \\ y_if(x_i) -1 \geq 0;\\ \alpha_i(y_if(x_i) - 1) = 0 \end{cases} \tag{18}$$
所以对于任意训练样本 $(x_i,y_i)$总有 $\alpha_i = 0$或者 $y_if(x_i)=1$.如果当前 $a_i=0$,那么该式在式17中则会不存在，而如果有 $\alpha_i \geq 0$那么一定会有 $y_if(x_i)=1$,即对应的这个样本刚好位于最大间隔边界上，是一个支持向量。即SVM的一个性质：当训练完成后，大部分训练样本无需保留，只要保留支持向量即可，而且模型也只与支持向量有关。
因为这是一个二次规划问题，而且模型的训练速度正比于训练样本数，所以不适合超大数据集，而且中间会有一堆的开销，为了解决这种问题，通过问题本身的特性，有如SMO等高效方法来进行求解。(待更新)

5 - 核函数

对于线性不可分的样本集合来说，在低维空间中，是无法将其区分的。而且如果原始样本的特征维度是有限维，那么一定存在某个高维，能够将其线性区分，所以，升维，升到线性可分的维度，就能解决这个问题。
假设$\phi(x)$是$x$升维后的特征向量，则在能够划分超平面的特征空间中模型表示为：

$$f(x) = w^T\phi(x)+b \tag{5.1}$$
表示成式子7如：

$$\begin{cases} min_{w,b} \quad \frac{1}{2}||w||^2 \\ s.t. \qquad y_i(w^T\phi(x_i)+b) \geq1, i = 1,2,...,m \end{cases} \tag{5.2}$$
其对偶问题：
$$\begin{cases} max_\alpha\sum_{i=1}^m\alpha_i-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m\alpha_i\alpha_jy_iy_j\phi(x_i)^T\alpha(x_j) \\s.t. \qquad \sum_{i=1}^m\alpha_iy_i=0,\\\qquad\quad\alpha_i \geq 0,i = 1,2,..,m \end{cases} \tag{5.3}$$
这样就将问题转换到了求高维特征的内积问题，可是如果这时候的特征空间维度太高，那么内积的计算都是很困难的。所以如果能够有这样一类函数：
$$\kappa(x_i,x_j) = \quad<\phi(x_i),\phi(x_j)>\quad= \phi(x_i)^T\phi(x_j) \tag{5.4}$$
即希望找到一个函数，使得 $x_i$与 $x_j$在特征空间的内积就等于他们在原始样本空间通过升维得到的内积。这样就免去了计算高维甚至无穷维度的问题，式子5.3重写成：
$$\begin{cases} max_\alpha\sum_{i=1}^m\alpha_i-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m\alpha_i\alpha_jy_iy_j\kappa(x_i,x_j) \\s.t. \qquad \sum_{i=1}^m\alpha_iy_i=0,\\\qquad\quad\alpha_i \geq 0,i = 1,2,..,m \end{cases} \tag{5.5}$$
求解后：
$$\begin{eqnarray}f(x,y) &=&w^T+b\\ &=&\sum_{i=1}^m \alpha_i y_i \phi(x_i)^T\phi(x)+b\\ &=&\sum_{i=1}^m \alpha_i y_i \kappa(x_i,x)+b \end{eqnarray} \tag{5.6}$$
(待续)

6 - 软间隔，惩罚系数

如前面说的，一直假定训练样本在样本空间或者特征空间中能够达到线性可分，可是现实问题总是更复杂的，也很难说找到合适的核函数来让训练样本在特征空间中线性可分，即使找到了，也难保这个线性可分的结果不是过拟合造成的。所以，由此那么就放宽条件，允许一部分样本是分类错误的，比如：

，所谓的”硬间隔”，就是每个样本都完全满足SVM的目标函数定义，而“软间隔”，就是允许及个别的样本不满足：

$$y_i(w^Tx_i+b) \geq 1 \tag{6.1}$$
为了尽可能的减少这种情况存在，所以需要惩罚这种样本，从而目标函数改成了：
$$min_{w,b}\frac{1}{2}||w||^2+C\sum_{i=1}^m l_{0/1}(y_i(w^Tx_i+b)-1) \tag{6.2}$$
其中 $C >0$是一个常量，即惩罚系数， $l_{0/1}$是”0/1损失函数”：
$$l_{0/1}(z) = \begin{cases}1,\quad if \quad z < 0;\\ 0,\quad otherwise\end{cases} \tag{6.3}$$
可以发现当 $C$无穷大时，满足最严格要求，即所有样本都必须分类正确，而当$C$有确定值时，就是一定程度的让步。
可是因为损失函数通常是非凸，非连续，数学性质不够完美，所以式子6.2很难求。所以通常是采用一些凸的连续的，且是损失函数上界的一些函数来代替。

2017/03/08 第一次修改！

[1]: 周志华 《机器学习》
[2]: 拉格朗日乘子法和KKT条件： http://www.cnblogs.com/zhangchaoyang/articles/2726873.html
[3]:深入理解拉格朗日乘子法和KKT条件： http://blog.youkuaiyun.com/xianlingmao/article/details/7919597