hdu 3802 Ipad,IPhone

最新推荐文章于 2018-02-27 17:49:00 发布

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本文详细解析了一个涉及Ipad、IPhone的编程问题，通过快速幂算法解决第一部分，利用二次剩余理论和欧拉准则解决第二部分的整数判断问题。此外，介绍了矩阵运算在计算菲波那契数列取余项的应用，并讨论了矩阵初始化中取余操作的重要性。文章还指出在实现过程中因矩阵初始化未正确取余导致的错误，并最终通过取余优化和指数循环节优化避免了溢出问题。

题目： Ipad,IPhone

思路：这题。。。好坑反正，WA了刚好20次。。。

题目给的式子，分成两部分，对于第一部分，直接快速幂即可，对于后面的部分，后面括号里是整数的证明出题人 AekdyCoin 用二次剩余进行了解说，请点击 here

对于后面的部分，是不是整数我给直接忽略了。。。不然怎么进行取余呢。。事实证明，前半部分是有存在感的，根据欧拉准则，即二次剩余的欧拉判别法，我们知道a是模p的二次剩余时a^((p-1)/2)=1(mod p)，非二次剩余时，a^((p-1)/2)=-1(mod p) ，所以二次剩余时，前半部分的解为4，而非二次剩余的时候，前面的解为0，同时后半部分也不会有整数解，因此前半部分的存在时很有必要的。

好吧，继续说后半部分，既然是整数可以进行取余了，指数部分是菲波那契数列数列，可以构造矩阵这个不难，同时要用指数循环节进行优化，不然很容易溢出，然后就跪了。这里对素数p进行取余，所以指数部分，我们对其欧拉值进行取余，也就是对p-1取余得到斐波那契取余项。

然后再构造矩阵：

然后。。。因为矩阵初始化的时候忘了对2*(a+b),-(a+b)^2等进行取余，WA了差不多20次吧。。。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef __int64 LL;
LL mod;
struct Matrix
{
    LL m[3][3];
}E,D;
LL a,b,n;
void init()
{
    for(int i=1;i<=2;i++)
        for(int j=1;j<=2;j++)
            E.m[i][j]=(i==j);
    D.m[1][1]=1;
    D.m[1][2]=1;
    D.m[2][1]=1;
    D.m[2][2]=0;
}
Matrix Multi(Matrix A,Matrix B)
{
    Matrix ans;
    for(int i=1;i<=2;i++)
        for(int j=1;j<=2;j++)
        {
            ans.m[i][j]=0;
            for(int k=1;k<=2;k++)
                ans.m[i][j]=(ans.m[i][j]+A.m[i][k]*B.m[k][j])%mod;
        }
    return ans;
}
Matrix Pow(Matrix A,LL k)
{
    Matrix ans=E;
    while(k)
    {
        if(k&1)
        {
            k--;
            ans=Multi(ans,A);
        }
        else
        {
            k/=2;
            A=Multi(A,A);
        }
    }
    return ans;
}
LL Fib(LL n)
{
    if(n==0)
        return 1;
    Matrix ans=Pow(D,n);
    return ans.m[1][1]%mod;
}
void Print(Matrix A)
{
    for(int i=1;i<=2;i++)
    {
        for(int j=1;j<=2;j++)
            cout<<A.m[i][j]<<" ";
        cout<<endl;
    }
}
LL get(Matrix A,Matrix B,LL fib)
{
    Matrix ans=Pow(A,fib-1);
    ans=Multi(ans,B);
    return ans.m[1][1];
}
LL Pow(LL a,LL b)
{
    LL ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            b--;
            ans=(ans*a)%mod;
        }
        else
        {
            b/=2;
            a=(a*a)%mod;
        }
    }
    return ans;
}
int main()
{
    init();
    int t;
    cin>>t;
    init();
    while(t--)
    {
        cin>>a>>b>>n>>mod;
        LL aa=(1+Pow(a,(mod-1)/2))%mod;
        LL bb=(1+Pow(b,(mod-1)/2))%mod;
        if(aa==0||bb==0)
        {
            cout<<0<<endl;
            continue;
        }
        Matrix T,cnt;
        T.m[1][1]=2*(a+b)%mod;
        T.m[1][2]=-(a-b)*(a-b)%mod;
        T.m[2][1]=1;
        T.m[2][2]=0;
        cnt.m[1][1]=2*(a+b)%mod;
        cnt.m[2][1]=2;
        LL tmp;
        mod--;
        tmp=Fib(n);
        mod++;
        LL ans=get(T,cnt,tmp);
        ans=4*ans%mod;
        if(ans<0)
            ans+=mod;
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}