卷积的理解

上学期上过信号处理这门课，整理过一些卷积的资料，放下了，最近在看SIFT,又重新过了一遍。
卷积理解起来还是十分抽象的，看了很多资料才算一知半解吧，以下贴出。

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只要接触过卷积的人一定会知道“反褶、平移、积分”这句话，大部分人解释卷积也是靠这句话，但这句话非常空洞，卷积又是一个十分抽象的东西，我也被此困扰好久，别人要是问对卷积的理解，也就只能回答“反褶–平移–积分”，往深处挖就不知道了，实在是尴尬。所以下面我将从卷积的定义、卷积的计算、卷积的应用等几个方面说明。

卷积的定义

补充单位脉冲和单位脉冲响应的定义

单位脉冲：

下面是在matlab中的波形图

单位脉冲响应：当系统的初始状态为零时，这时给系统输入一个单位脉冲序列$\ x(t)=\delta(t)\ $，则系统的输出称为单位脉冲响应，简称脉冲响应，用符号$\ h(t)\ $表示。（注意$\delta(t)\ $面积为1）。

正式步入卷积。先给出定义式，再一步步解释（这里只讨论线性时不变系统下连续的定义）

$$\ y(t)=\int ^{+\infty} _{-\infty} \mu(\tau)h(t-\tau)d\tau$$
下面以图来解释这个式子怎么来的：

图中左边为输入信号，左边为系统的输出。

(a)中，输入信号$\ p(t)\ $经过系统后得到输出信号$\ h(t)\ $；

(b)中，输入信号较之于(a)延迟了$\tau\ $，表示为$\ p(t-\tau)\ $，由于是LTI（线性时不变系统），输出信号也延迟$\tau\ $，变为$\ h(t-\tau)\ $；

(c)、(d)两图阐释了LTI的叠加原理：若以$\ p(t)+p(t-\tau)\ $为输入，则输出为$\ h(t)+h(t-\tau)\ $；

假设现在有一个输入信号$\mu(t)\ $，将其表示为若干个我们刚刚见过的$\ p(t)\ $的叠加。

注意：定义 $\ p_\Delta(t) \ $和$\ h_\Delta(t)\ $ ，当$\Delta\rightarrow0\ $ 时趋近于$\delta(t)\ $ 和 $\ h(t)\ $ 。（同样注意$\ p_\Delta(t)\ $ 的高度为$\frac{1}{\Delta}\ $ ，面积为 1）

所以输入信号$\mu(t)\ $可以拆分成很多 $\ p_\Delta(t) \ $的和。

$$\mu(t)\approx\mu(0)p_\Delta(t)\Delta +\mu(\Delta)p_\Delta(t-\Delta)\Delta +\mu(2\Delta)p_\Delta(t-2\Delta)\Delta +...$$

输出信号：

$$\ y(t) \approx\mu(0)h_\Delta(t)\Delta +\mu(\Delta)h_\Delta(t-\Delta)\Delta +\mu(2\Delta)h_\Delta(t-2\Delta)\Delta +... \ $$
得到 $\ y(t)\ $的过程就可以看做一个加权叠加的过程。
$$\ y(t) =\Delta\sum^{+\infty} _{i=0} \mu(i\Delta)h(t-i\Delta)\ $$

用$\ p(t)\ $表示的$\mu(t)\ $并不是精确的$\mu(t)\ $啊，那些小长条的面积比$\mu(t)\ $的面积可少了不少呢。除非$\Delta\ $尽可能的小，长条尽可能的窄。这就是联想到积分了。

下面是由上面的$\ y(t)\ $转化为积分的过程。
令$i\Delta = \tau\ $，作转化$\Delta = \frac{1}{i}\cdot\tau\ $。则上式就可转化如下：

$$\ y(t) = \frac{1}{i}\sum^{+\infty} _{i=0} \mu(i\Delta)h(t-i\Delta) \cdot \tau\ $$
因此就有积分式：
$$\ y(t)=\int ^{+\infty} _{-\infty} \mu(\tau)h(t-\tau)d\tau$$

（取负无穷是考虑到当前时刻前已经有输入了）
以上是卷积的定义，也就是卷积式的由来。

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卷积的计算

前面我们说过很多人用“反褶、平移、积分”来描述卷积，前面已经阐述了卷积定义，这里，更倾向于把这句话当做是计算卷积的过程而不是来解释卷积。

首先看一张图：

有俩个输入信号$\ f(t)\ $和$\ g(t)\ $。以下卷积具体步骤。

1、改变图中横坐标，由$\ t\ $改为$\ \tau\ $，$\tau\ $就变成函数的自变量。
2、把其中的一个信号反褶，如图中矩形框框出来的部分。
3、把反褶的信号作位移，位移量为$\ t\ $，如上图。
4、位移，并将俩信号量重叠部分相乘$\ f(\tau) \cdot g(t-\tau)\ $。
5、完成相乘后图形的积分（其实也就是俩信号重叠部分的面积）。

下面再贴出wiki上的动图，更易理解:
黄色区域是重叠面积，新生成的曲线是时间$\ t\ $的函数。也就是卷积的这种表述形式：

$$\ (f\ast g)(t) =\int ^{+\infty} _{-\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau \ $$

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卷积的应用

卷积的应用非常多，这里拿图像处理中使用卷积为例。
在matlab中，我们常用的卷积计算函数有conv和conv2。下面就分别介绍

conv2
conv2是二维矩阵卷积运算。conv2的具体实现步骤可以参见这篇博文。我们再对输入图像使用卷积时候滤波器的大小最好为奇数，这样它才有一个中心（高斯模糊卷积矩阵一般选用$\ 3\times 3\ $或$\ 7\times 7\ $）。

如下图，对图像进行卷积运算和以很清晰的检测出边缘

conv

conv是向量间卷积运算。它的参数跟conv2是一样的。

一般向量间的卷积计算我们可以这样理解：
如$\ u=[1 \;3\; 1]\ $和$\ v=[2 \; 7] \ $，我们把向量$\ u\ $内元素写成多项式升幂排列$\ x^2 +3x +1\ $，同理向量$\ v\ $内元素也以升幂排列$\ 2x^2+7\ $，我们将俩个多项式相乘，结果也是按升幂排列$\ 2x^3 +13x^2 +23x +7\ $。所以卷积得到的结果是$\ [2 \;13\;23\;7]\ $。在matlab中验证如下：

参考：
知乎中卷积的通俗解释
wiki中卷积的解释