弓虽子

数学类题目小结 暑假慢慢做吧……2009-11-20 22:10数学类题目小结    从放暑假前周sir给我讲了一个用polya计数法和burnside定理做的题目（pku2409）后，突然觉得组合数学挺有意思，然后从那时起到现在几乎都在做这类的题目。    做到现在感觉这类题目

<br />http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3372<br /> <br />这题有个很神奇的公式，没什么可说的，以下内容转自：LonelyBoy、笨小孩_sunhaowen。<br />题意：N个小孩围成一个圈，老师 顺时针隔 0， 1， 2， 3，。。。个小孩发糖，问每个小孩是否都能领到糖。<br />解法很简单 当N是2^K时输出YES，否则输出NO。printf((N & N - 1) ? "NO/n" : "YES/n");<br />关键

一.问题描述        如果直角三角形三条边长均为整数,这三个整数组成的数组就称为勾股数组,对于勾股数组(a,b,c),根据定理有关系式:a^2 + b^2=c^2  问题: 有一种勾股数组(a,b,c),使得b=a+1.例如: 3^2+4^2=5^2; 用程序找出指定范围(1二. 分析   1.遍历求解:这类算法最简单,也最耗时.两个遍历条件得到结果的算法复杂度是0(n^2),显然这不是好算法.  2.递归算法:       设 a,b,c为一组勾股数, 设 m= c--a,有 a^2+(a+1)^2

方程的解数问题描述　　已知一个n元高次方程：　　其中：x1, x2, …,xn是未知数，k1,k2,…,kn是系数，p1,p2,…pn是指数。且方程中的所有数均为整数。　　假设未知数1≤ xi ≤M, i=1,,,n，求这个方程的整数解的个数。输入文件（equation.in）　　文件的第1行包含一个整数n。第2行包含一个整数M。第3行到第n+2行，每行包含两个整数，分别表示ki和pi。两个整数之间用一个空格隔开。第3行的数据对应i=1，第n+2行的数据对应i=n。输出文件（equation.out）　　文

<br />http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3370<br />http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=2356<br /> <br />定理：如果n+1个物体被放进n个盒子，那么至少有一个盒子包含两个或更多个物体。<br />应用：给定n个数a1,a2,...,an.则比存在整数k和l（0<=k<l<=n)）使得a[k+1]+a[k+2]+....+a[l]能被n个数整除。<br /><br />a

<br />http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1695<br />题意：已知给定k,x,y求 1<=a<=x 1<=b<=y中满足gcd(a,b)=k 的(a,b)对数。（注意数对是无序的）。 1<=x,y<=10w, 0<=k<=10w<br /><br />大体思路：<br />枚举[1..y]中每个数i 判断[1..min(x,i)]中有多少数与i互质，统计个数。（注意，枚举的是比较大的区间[1..y]）。<br />显然如果

<br />http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3243<br />题意：给定XY mod Z = K已知X, Z, K 求最小的Y值，这题和pku2417差不多，都是用这个算法的，但是我差了很多资料，理解还不是很好啊，今天看了AC大牛的解题报告，学习了他的写法，，膜拜下~~~上面写的很清楚，但是俺菜还是不够理解啊~<br />http://hi.baidu.com/aekdycoin/blog/item/b317ca18bb24334942a9ad55

<br />http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3735<br /> <br />这个题也是一个关于矩阵的一个经典的应用。<br />（转自matrix67）<br />    有n只猫猫排成一排，初始时每只猫猫都没有花生。定义三种操作：给第i只猫猫一颗花生，令第i只猫猫吃掉它所有的花生，交换猫猫i和猫猫j的花生。给出长度不超过k的操作序列，输出循环执行m次操作序列后的结果。数据规模n≤100，k≤100，m≤1 000 000 000。看到这道题我们立

<br /> 十个利用矩阵乘法解决的经典题目(转Matrix67)<br />PDF文档下载:十个利用矩阵乘法解决的经典题目<br />好像目前还没有这方面题目的总结。这几天连续看到四个问这类题目的人，今天在这里简单写一下。这里我们不介绍其它有关矩阵的知识，只介绍矩阵乘法和相关性质。<br />     不要以为数学中的矩阵也是黑色屏幕上不断变化的绿色字符。在数学中，一个矩阵说穿了就是一个二维数组。一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵，得到的结果是一个n行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数等于

<br />http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3233<br /> 题目大意：给定矩阵A，求A + A^2 + A^3 + ... + A^k的结果（两个矩阵相加就是对应位置分别相加）。输出的数据mod m。k<=10^9。<br />      这道题两次二分，相当经典。首先我们知道，A^i可以二分求出。然后我们需要对整个题目的数据规模k进行二分。比如，当k=6时，有：<br />      A + A^2 + A^3 + A^4 + A^5 + A

<br />http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3244<br />题意：定义两个三元组I(xi, yi, zi)和J(xj, yj, zj)，他们的差为D(I, J) = max{xi - xj, yi - yj, zi - zj} - min{xi - xj, yi - yj, zi - zj}，给定n个三元组（n <= 200000），求任意两个三元组的差的和。<br />此题是很好很难的数学题，自己不能想出解法，参照了牛人的解法，这题的公式变换很

<br />http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1737<br />题意： 一个无向图就是有v个顶点和e条边（E∈{V*V}）构成的一个集合。如果一个无向图对于每个点对（u,v）都可以从u通过边到底v，那么这个图就是连通的，你的任务就是写一个程序来计算总共有多少个不同的包含n个顶点的连通的无向图；<br />分析：对于我老菜来说此题是很好很难的图论+数论。自己弄了很久，最后看了牛人的解题报告才弄明白，汗~废话少说贴下牛人的报告吧。<br /> <br /

所属题型：组合数学要求知识：polya或者burnside题意转述：一串由n个珠子组成的项链，用c种颜色涂染，问能形成多少种不同项链。限制：旋转得来的为同一种，翻转得来的也为同一种。本题有多种算法，下面给出比较容易想到且易于理解的两种算法。推荐使用算法2，因为若是碰到高精度问题，算法2比算法1易于处理，且复杂度也比算法1低好多。核心知识点都是Polya定理。解决过程：算法一：I.计算旋转置换和翻转置换的个数：1.旋转置换 N个珠子，把项链当成一个圆，每次旋转角度为I*360/N(I∈(1,n))，共有N

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=32082009-5-30东华大学全国邀请赛 I题 Integer Power 解题分析DescriptionLMY and YY are number theory lovers. They like to find and solve some interesting number theory problems together. One day, they become interested in some spec

<br />http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3487<br />题意就不说了，不明白的就看我上一篇博客吧；下面介绍下有关算法：参照了牛人的算法；<br /> <br />Gale-Shapley 算法<br />while 存在男人m是自由的且还没对每个女人都求过婚<br />         选择这个男人m<br />       令w是m的优先表中还没求过婚的最高排名的女人<br />                  if w是自由的 <br

<br /><br />转自：http://teruterubouzu-laputa.spaces.live.com/<br />话说在1962年，两个数学家David Gale 和Lloyd Shapley提出了下面的问题：<br />给定若干个男生和同样多的女生，他们每个人都对所有的异性有一个心理的偏好次序。是否存在一种男女配对组合构成一种稳定的组合关系？这里稳定组合的意思是说，不存在两个非伴侣的异性对彼此的评价比对各自伴侣的评价还要高。（可以理解，这样的异性太容易红杏出墙了，所以是某种不稳定因素。）进

<br />题目要求：给出两个整数n和p，代表n个珠子，n种颜色，要求不同的项链数，并对结果mod（p）处理。<br />此题本人不会做啊，只能找解题报告了，要用到欧拉函数x是n约数， 最后的答案是 (1/n * ∑Euler(n/x)(n^x)) % p    x= 1<br /> <br />由于只关心gcd(N,i)，考虑N的某个约数m在1...N的gcd中出现了几次。<br />gcd(N,i)==m  ==>  gcd(N/m,i/m)==1<br />显然就是欧拉函数 phi(N/m) <br

题意：是给你一个N进制的整数R，题目保证R能被N-1整除，让你求符合条件的最小的N。分析：看见很多大牛都觉得很水的题，但是还是要数论来证明的，自己没能证明出来，看了牛人的证明才能水掉~~数论的模运算证明：设输入的是abcd，假设其解是n进制，则有（a*n*n*n + b*n*n + c*n + d)%(n-1)=0则有：( (a*n*n*n)%(n-1)+ (b*n*n)%(n-1)+ (c*n)%(n-1)+d )%(n-1)=0则有：((a* (n%(n-1)) *(n%(n-1)) *(n%(n

题意：有三种颜色和n个珠子，让你求圆形的珠链经过旋转和翻转或本质不一样的总数。分析：这个和poj2409几乎是一样的，只是本只有三种颜色，解法是一样的。。。要是不理解就看看本站的poj2409！！解法一：#include#includeusing namespace std;double ans;int n;int gcd(int a, int b){ if(b == 0) return a; return gcd(b, a%b);}int main(){

<br />http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1150<br />题意：求C(n, m)最后一位非0位。n!/(n-m)!<br />此题是很经典的数论题，做完学到了很多东西，但是不是自己能做出来的；下面转帖：第四维空间博客的解析。<br />这个题怎么来做呢？先别急，我们先来讨论一下下面几个子问题：<br />1.如何求出n阶乘中质因数x(比如说5）出现的次数？<br />比如说15的阶乘 ：1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13

http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=2480题意：给定N(int)  求 ∑gcd(i,N) 1分析：一看这题的数据就知道不能暴力的，要用到欧拉函数分解才行的，只是自己的数论还不成熟，想了好久都没有解法；最后看了牛人的解题报告才弄明白的；此题解法：对于gcd(M,N)=i 有Ci个M满足此式 答案便是∑(Ci*i)gcd(M,N)=i  gcd(M/i,N/i)=1 而求gcd(M/i,N/i)=1 有多少个M/i满足 这便是欧拉函数Phi()的定义所

<br />http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3286<br />http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=2282<br />题意：给定一个区间（a，b），分别统计出0~9这几个数出现的次数。（pku2282）<br />分析：考虑由0,1,2，…，9组成的所有n位数。从n个0到n个9共有n位数，在这n位数中，0~9每个数字使用次数相同；<br />满足如下递归式，由此可知，可从低位向高位进行统计，再减

<br />http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=3070<br />题意很简单，给出一个数n，就是要求第n个斐波纳契数模10000（就是求最后4位数）。<br />分析：要是用递推式F[n] = F[n-1] + F[n-2]来计算，则复杂度是O(n)的，由于n的范围达到 0 ≤ n ≤ 1,000,000,000肯定会超时的。<br />按题目要求要用矩阵来做的，详情看原题。<br />那么对于一个矩阵怎么来取模呢？实际上这与整数的取模幂运算a^b m

http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1222题意：有一个5*6的方阵，每个位置都表示按钮和灯，1表示亮，0表示灭。每当按下（i，j）时，（i，j）和（i-1，j）、（i+1，j）、（i，j-1）（i，j+1）都会改变，亮的变灭，灭的变亮；问在这样的一个方阵中按下哪些按钮可以把整个方阵都变成灭的，这时1表示按了，0表示没按。转载分析：这个游戏的名字叫做Lights Out。一个板子上面有MxN个按钮，按钮也是灯。每次按下一个按钮，这个按钮和它的上下左右相邻

http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1781题意：有n个人，按1~n排列成一个圈，每隔一个就剔除一人，知道剩下最后一个人为止。列出少数的规律为：//当n分别为： (1) (2 3) (4 5 6 7) (8 9 10 ...结果对应下面的//构造出数列：(1) (1 3) (1 3 5 7) (1 3 5 7 9 1...规律//每一组元素个数为：1 2 4  8...按照规律些的代码：#include#include#includeusin

http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=2562这题很有意思，思路来源于http://hi.baidu.com/speakless/blog/item/1be8d61b63711cd5ac6e751f.html对于任何正整数x,其约数的个数记做g(x).例如g(1)=1,g(6)=4.如果某个正整数x满足:对于任意i(0现在给一个N,求出不超过N的最大的反素数.比如:输入1000 输出 840思维过程:求[1..N]中约数在大

<br />http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1730<br /> <br />题目大意：<br />给一个数n，求一个最大的q使得 n = a^q，其中a,q,n都是32位整数。（多组数据）<br />分析：只要将n进行素因子分解，把所有素因子数目的gcd求出来就行。注意：n可能是负数，所以对于负数还需要将求出来的结果试除2，直到结果不是偶数才是最后负数的结果。<br />下面的代码是把整数n分解成素数幂的形式n=p1^t1*…*pk^tk；<br

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1365题意：很难理解，就是给出连续的两个数pi,ei，pi表示一个素数，ei表示pi的次幂，s就是这些素数幂的积，例如s=pi^ei（i=1,2,3...）。要求你先算出s，然后再把s-1分解成输入的形式。分析：每一行的输入pi,ei没有规定是多少项，这就很难处理算出每一行的s的值，但是通过此题也学会了一种处理这中情况的表达，在文章的最后会贴下别人的处理代码；接下来就是简单的整数分解了。#include#incl

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1721一下分析转至潘震皓的《置换群快速幂运算 研究与探讨》洗牌机 (CEOI 1998)此题对于我老菜来说是属于难题，但是通过这篇经典的文章，学到了很多~~赞下潘震皓。。。。[问题描述]剀剀和凡凡有N张牌（依次标号为1，2，……，N）和一台洗牌机。假设N是奇数。洗牌机的功能是进行如下的操作：对所有位置I（1≤I≤N），如果位置I上的牌是J，而且位置J上的牌是K，那么通过洗牌机后位置I上的牌将是K。剀剀首先写下一个1~

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3128题意：给出一个置换a，证明它是否是另一个置换b的平方。此题也要用到潘震皓的《置换群快速幂运算 研究与探讨》这篇文章。也是懵懵懂懂的~~~哎…加油吧！！！#includeusing namespace std;const int MAX = 27;char str[MAX];int data[MAX], ans[MAX], visit[MAX];int fun(int n){ int

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1026题意是：给出n个数字出现的顺序，给出一个字符串加密的次数k，再给一串字符串，长度少于n，用空格补全；按着每个字符所处位置的数字进行排序加密，我们可以发现每个数字经过x次加密就能构成一个循环，这样我们只要找到这个循环周期x，就好了，加密次数k要用到模运算来处理，这样才不会超时。加密方式如题中所给:1 2 3 4 5 6 7 8 9 104 5 3 7 2 8 1 6 10 9对于第一个字符，加密3次的结果如下:1

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3270题目描述：给你一个数字序列（每个数字唯一），每次你可以交换任意两个数字，代价为这两个数字的和，问最少用多少代价能把这个序列按升序排列好。题目的具体做法是参考刘汝佳的《算法艺术与信息学奥赛》大概思路是：1.找出初始状态和目标状态。明显，目标状态就是排序后的状态。2.画出置换群，在里面找循环。例如，数字是8 4 5 3 2 7明显，                                    目标状态是2

<br /><br />Ⅴ.第二类Stirling数<br />在五类典型的递推关系中，第二类Stirling是最不为大家所熟悉的。也正因为如此，我们有必要先解释一下什么是第二类Strling数。<br />【定义2】n个有区别的球放到m个相同的盒子中，要求无一空盒，其不同的方案数用S(n,m)表示，称为第二类Stirling数。<br />下面就让我们根据定义2来推导带两个参数的递推关系——第二类Stirling数。<br />解：设有n个不同的球，分别用b1,b2,……bn表示。从中取出一个球bn，bn

<br />http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1430<br />此题是求第二类Stirling数S(n,k)的值，但是n,k的范围非常大；下面是有关的资料，转帖的；<br /> <br /> <br /> <br /><br />首先介绍一下Sierpinski三角形：<br /><br /><br />       Sierpinski三角形是一种分形图形，它是递归地构造的。最常见的构造方法如上图所示：把一个三角形分成四等份，挖掉中间那一份，然后继

<br />http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1811<br />http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=2429<br />这两题都是有关大素数判断和整数分解的，应该是属于模板题，所有算法上都有的；<br />下面转个写得很清楚的牛人博客的代码：pku1811<br />#include <iostream> #include <ctime> #include <cmath> #de

<br />http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1284<br />题意：p是奇素数,如果{xi%p | 1 <= i <= p - 1} = {1,2,...,p-1},则称x是p的原根.<br />给出一个p,问它的原根有多少个.<br />思路来源：http://kb.cnblogs.com/a/1307233/<br /> {xi%p | 1 <= i <= p - 1} = {1,2,...,p-1} 等价于 {xi%(p-1) | 1 <=

http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=2773题意：给定m, k(1 思路：看题目的数据范围是1000000，所以可以先用线性方法计算所有小于M的与M互质的数，储存到数组A[]中，并用tot记录总数。对于K 对于K > TOT ，取M=5观察与它互质的数的情况：1 12 23 34 45 6 = 1*5+1 = 1*5+A[1]6 7 = 1*5+2 = 1*5+A[2]7 8 = 1*5+3 = 1*5+A[3]8 9 = 1*5+4 = 1*5+A[4

<br />http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=2115<br />从题目可以推出 a+c*x = b (mod 2^k)    =>    c*x = (b-a) (mod 2^k)<br />经典的模线性方程求解；可能会有出组解，第一个解就是最小解，注意解小于0的情况。<br />#include <iostream>using namespace std;__int64 extended_euclid(__int64 a,__int64 b

<br />http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=2891<br />思路：求最小的x，满足 x=ai (mod mi)， 这里的ai不互质。考虑两个方程时, x = a1 (mod m1), x = a2 (mod m2), x = a1 + m1*y, x = a2 + m2*z, 联立两式化简得, m1*y+m2*z=a2-a1, 求解出y， 则x=a1+m1*y.对于多个方程,可以另a1=x, m1 = m1*m2， 依次求解下去即可。看了解题报告

http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1061公式：(n-m)*ans = (x - y) mod L；直接代入模板就行啦。详细介绍：http://hi.baidu.com/%B1%BF%D0%A1%BA%A2_shw/blog/item/0676025d56a87d4afbf2c093.html#include using namespace std;__int64 result;__int64 gcd( __int64 a, __