01背包和完全背包的一点想法；C语言（动态规划）

        假设我有一个容量为m的背包和n种不同价值（用数组c[i]表示）不同体积（用数组w[i]表示）的物品，每种物品只有一个。那怎么才能使我的背包装入的物品价值最大。

        那么可以用动态规划由小的1容量的背包装第一个物品来递推出m容量背包n个物品时的情况。

所以我们用两层循环，第一层循环物品种类由1到n，第二层循环背包容量1由m。而f[i][j]代表了有i种物品下背包容量为j时的最大价值。

        用背包装物品，我们首先考虑能不能装进背包：

①装不进去，即物体体积w[i]大于背包容量j，显然此时背包里的价值f[i][j]=f[i-1][j],即等于第i个物品没有装进去时的价值。

②能装进去，即物品体积w[i]小于背包容量j，那么就要选择是否将物品装进去。因为选择装进去可能要腾空背包内的物品，损失一定的价值。

        1.装进去后价值大于不装进去，那f[i][j]=f[i-1][j-w[i]]+c[i]。[i-1]代表了装入第i种物品前，[j-w[i]]代表要在背包内腾出物品i所需要的体积后所剩下的最大价值。

        2.放进去后价值小于不放进去后，显然此时背包里的价值f[i][j]=f[i-1][j]。

代码如下：

	for(int j=1;j<=m;j++){
			if(w[i]>j){
				f[i][j]=f[i-1][j]; 
			}else{
				f[i][j]=max(f[i-1][j-w[i]]+c[i],f[i-1][j]);
			}
			printf("f[%d][%d]=%d\n",i,j,f[i][j]);//监视此时背包最大价值
		}

如果每样物品不止一个，那状况②的1中f[i][j]=f[i][j-w[i]]+c[i]。

for(int j=1;j<=m;j++){
			if(w[i]>j){
				f[i][j]=f[i-1][j]; 
			}else{
				f[i][j]=max(f[i][j-w[i]]+c[i],f[i-1][j]);
			}
			printf("f[%d][%d]=%d\n",i,j,f[i][j]);//监视此时背包最大价值
		}

为什么i和j要从1开始循环呢，因为要给一个边界条件0。

当i=0时显然f[i-1][j-w[i]]不成立。