1103. Integer Factorization (30)[递归遍历+剪枝]

1. 原题: https://www.patest.cn/contests/pat-a-practise/1103

2. 思路:

题意:
判断一个数能否分解成N个因子的p次方的和。
若是,求出最大的N个因子和。
有多个相同最大和,输出较大的那个序列。比如 1) 1, 2, 3, 5
2) 1, 2, 4, 4
则输出第二种。
递归剪枝题。


思路:
题意并不算多难,但是如何转换成合适的算法呢。
首先会想到暴力破解的方式,毕竟x<=400, 那么因子最大是20.
所以不妨从1~20一个个试得了。这样的思路是对的。
我们可以优化。毕竟是N个因子,超出N个的话就不需要继续判断了。
遍历的过程中,我们从最小值1开始测试,同时记录因子和,若遇到更大的或者相等的,都更新。
这样也满足题目中的多个相同和的情况。


思路整理下,就是递归+剪枝优化的算法。
即当前元素值x,把因子i作为它的一个,那么新的x = x - i^p, 把因子i加入容器factor中.
接着对新的x递归遍历,这时的遍历因子从i开始,而不是从1开始了(因为前面的已经递归处理了)。
递归完成后输出结果就好了。
已AC。

3. 源码:

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>//使用sort排序函数,pow指数函数
#include<functional>//使用内置降序比较greater仿函数
using namespace std;

int x, N, p;//分别为给定的正数, 因子个数及指数
int maxsum = -1, cur_sum = 0;//分别为因子和的最大值,当前因子和
vector<int> factor, result;//分别为因子和最终所求的因子的数组容器
void dfs(int x, int cnt);//递归遍历
void print();//输出结果

int main(void)
{
	//freopen("in.txt", "r", stdin);
	cin >> x >> N >> p;
	factor.resize(N);
	dfs(x, 0);//递归遍历因子,参数为元素值,因子的下标顺序。N个因子,下标从0~N-1

	if (maxsum == -1)//说明未找到
		cout << "Impossible\n";
	else
		print();

	return 0;
}

void dfs(int x, int cnt)//递归遍历因子,参数为元素值,因子的下标顺序。N个因子,下标从0~N-1
{
	if (cnt == N && x != 0)//剪枝优化,已经有N个因子,但和不等于给定的值
		return;
	if (x < 0)//剪枝优化,超出了给定值。直接返回
		return;

	if (x == 0 && cnt == N)//可分解成N个因子,更新
	{
		cur_sum = 0;//因子和
		for (int i = 0; i < N; i++)
			cur_sum += factor[i];

		if (cur_sum >= maxsum)//更新最大和,相等也更新,这样才满足最大的因子序列
		{
			maxsum = cur_sum;
			result = factor;//因子赋值给结果容器
		}
		return;
	}

	int start = cnt > 0 ? factor[cnt - 1] : 1;//因子起点,第一个因子递归时,因子值从1开始。否则是上一个因子值
	int end = (int)sqrt(double(x));//因子终点
	for (int fac = start; fac <= end; fac++)//因子值从小到大进行递归遍历
	{
		factor[cnt] = fac;//把新的因子压入容器
		dfs(x - (int)pow(fac, p), cnt + 1);
	}

	return;
}

void print()//输出
{
	sort(result.begin(), result.end(), greater<int>());
	printf("%d = ", x);

	for (int i = 0; i < result.size(); i++)
	{
		if (i != 0)
			printf(" + ");
		printf("%d^%d", result[i], p);
	}
	printf("\n");
}


<think>好的,我现在要解决用户遇到的numpy.linalg.LinAlgError错误,具体是“The leading minor of order 7 of B is not positive definite”。这个问题发生在进行Cholesky分解时,因为矩阵B的某个主子式不是正定的,导致分解失败。用户希望找到解决方案。 首先,我需要理解Cholesky分解的条件。Cholesky分解要求矩阵是对称(或Hermitian)且正定的。如果分解失败,说明矩阵不满足这两个条件之一。用户提到的主子式不正定,所以问题可能出在矩阵的正定性上。 接下来,我应该考虑用户可能的情况。用户可能在代码中构造了一个矩阵B,并尝试进行Cholesky分解,但抛出了错误。需要验证矩阵是否对称,是否正定。 验证矩阵是否对称:可以使用np.allclose(B, B.T)来检查矩阵是否对称。如果不对称,可能需要先对称化处理,比如取(B + B.T)/2。 检查正定性:可以通过计算特征值是否全为正来判断。使用np.linalg.eigvalsh(B)来获取对称矩阵的特征值,然后检查是否全部大于0。如果有特征值小于等于0,说明矩阵不正定。 处理非正定矩阵的方法可能有几种。用户可能需要调整矩阵使其正定。例如,可以尝试添加一个小的单位矩阵倍数,如B + δ*I,其中δ是一个小的正数,比如1e-6。这种方法称为正则化,可以改善矩阵的条件数。 另外,可以考虑使用其他分解方法,比如LU分解,但需要根据具体应用场景选择。如果必须使用Cholesky分解,则必须确保矩阵的正定性。 用户提供的引用中提到了使用try-except块来捕获LinAlgError,但注意到LinAlgError不是Python标准异常,可能需要从numpy中导入。例如,应该使用except np.linalg.LinAlgError as e:来正确捕获异常。 另外,用户可能对Cholesky分解的应用场景不熟悉,需要确保在分解前正确生成矩阵。比如,在构造协方差矩阵时,需要确保其正定性,可能需要使用专门的函数来生成正定矩阵,或者对现有矩阵进行调整。 总结解决方案步骤: 1. 检查矩阵对称性,必要时对称化。 2. 检查特征值是否全为正,确认正定性。 3. 对非正定矩阵进行调整,如添加正则项。 4. 使用异常处理来捕获错误,并给出提示。 5. 考虑替代分解方法如LU分解,如果适用的话。 同时,用户可能需要了解为什么矩阵不正定,是否在数据生成或处理过程中出现了问题,例如协方差矩阵的计算是否正确,是否有足够的样本数据等。 最后,确保用户正确导入numpy,并在异常处理中使用正确的异常类型,即np.linalg.LinAlgError。</think>### 解决 `numpy.linalg.LinAlgError: The leading minor of order 7 of B is not positive definite` 的步骤 此错误表明矩阵 $B$ 不满足 Cholesky 分解的条件(对称且正定)。以下是具体解决方案: --- #### **1. 验证矩阵的对称性** Cholesky 分解要求矩阵 **对称**。若矩阵非对称,需先进行对称化处理: ```python import numpy as np # 检查对称性 if not np.allclose(B, B.T): B = (B + B.T) / 2 # 强制对称化 ``` --- #### **2. 检查矩阵的正定性** 通过计算特征值验证正定性: ```python # 计算特征值(适用于对称矩阵,使用eigvalsh更高效) eigenvalues = np.linalg.eigvalsh(B) if np.all(eigenvalues > 0): print("矩阵是正定的") else: print(f"存在非正特征值:{eigenvalues[eigenvalues <= 0]}") ``` --- #### **3. 修正非正定矩阵** 若矩阵不正定,可尝试以下方法: - **方法 1:添加正则化项** 通过增加一个微小单位矩阵,使矩阵强制正定: ```python delta = 1e-6 # 调整δ值 B_reg = B + delta * np.eye(B.shape[0]) ``` - **方法 2:最近正定矩阵修正** 使用数值方法寻找最近的对称正定矩阵[^1]: ```python from scipy.linalg import sqrtm C = sqrtm(B) # 矩阵平方根 B_near = C @ C.T # 重构正定矩阵 ``` --- #### **4. 异常捕获与处理** 在代码中捕获 `LinAlgError` 并给出提示: ```python try: L = np.linalg.cholesky(B) except np.linalg.LinAlgError as e: print(f"分解失败:{e}") print("可能原因:矩阵非对称或非正定") ``` --- #### **5. 替代方法(如无需严格正定)** 若允许使用其他分解方法,可选择 LU 分解: ```python import scipy.linalg P, L, U = scipy.linalg.lu(B) # LU分解 ``` --- ### 关键问题分析 - **为何需要正定矩阵?** Cholesky 分解依赖正定性保证数值稳定性,否则分解结果可能包含虚数或无法收敛[^2]。 - **主子式不正定的影响?** 矩阵的每个顺序主子式必须正定,否则分解会在对应步骤失败(如第7阶主子式导致错误)[^3]。 ---
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