联合分布

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分类专栏： Machine Learnning 文章标签： 维基百科 联合分布
本文深入探讨了概率论中联合分布的概念，包括离散和连续随机变量的联合分布，独立变量的联合分布，以及多元联合分布。通过详细解析公式和实例，旨在帮助读者掌握这一核心知识点。

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联合分布[编辑]

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（重定向自 联合概率分布）

在概率论中, 对两个随机变量X和Y，其联合分布是同时对于X和Y的概率分布.

离散随机变量的联合分布[编辑]

对离散随机变量而言，联合分布概率密度函数为Pr(X = x & Y = y)，即

P(X=x\;\mathrm{and}\;Y=y)\;=\;P(Y=y|X=x)P(X=x)= P(X=x|Y=y)P(Y=y).\;

因为是概率分布函数，所以必须有

\sum_x \sum_y P(X=x\ \mathrm{and}\ Y=y) = 1.\;

连续随机变量的联合分布[编辑]

类似地，对连续随机变量而言，联合分布概率密度函数为fX,Y(x, y)，其中fY|X(y|x)和fX|Y(x|y)分别代表X = x时Y的条件分布以及Y = y时X的条件分布；fX(x)和fY(y)分别代表X和Y的边缘分布。

同样地，因为是概率分布函数，所以必须有

\int_x \int_y f_{X,Y}(x,y) \; dy \; dx= 1.

独立变量的联合分布[编辑]

对于两相互独立的事件P( X)及P(Y)，任意x和y而言有离散随机变量\ P(X = x \ \mathrm{and} \ Y = y ) = P( X = x) \cdot P( Y = y) ，或者有连续随机变量\ p_{X,Y}(x,y) = p_X(x) \cdot p_Y(y) 。

多元联合分布[编辑]

2元联合分布可以推广到任意多元的情况X1, ..., Xn

f_{X_1, \ldots, X_n}(x_1, \ldots, x_n) = f_{X_n | X_1, \ldots, X_{n-1}}( x_n | x_1, \ldots, x_{n-1}) f_{X_1, \ldots, X_{n-1}}( x_1, \ldots, x_{n-1} ) .
联合概率 joint probability 分布函数 distribution function
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分享一下我老师大神的人工智能教程！零基础，通俗易懂！http://blog.youkuaiyun.com/jiangjunshow也欢迎大家转载本篇文章。分享知识，造福人民，实现我们中华民族伟大复兴！                &a
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联合分布 部分公式是自己推导的，有不对的地方请说出来 QAQ 离散随机变量 假设 XXX 和 YYY 是定义在同一样本空间上的离散随机变量，它们的联合频率函数是 p(xi,yi)=P(X=xi,Y=yi)p(x_i, y_i) = P(X=x_i, Y = y_i)p(xi​,yi​)=P(X=xi​,Y=yi​)。 PX(x)=∑ip(x,yi)P_X(x) = \sum_i p(x, y_i)PX​(x)=∑i​p(x,yi​)​ 为 XXX​ 的边际频率函数，PYP_YPY​ 的定义类似。 连续随
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高斯联合分布
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### 高斯联合分布的定义 高斯联合分布，也称为多元正态分布或多维高斯分布，是对一元高斯分布在多维空间中的推广。它描述了一组随机变量的联合分布，这些随机变量通常表示为一个随机向量 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_D)$ [^1]。 在数学上，如果一个 $D$ 维随机向量 $\mathbf{x}$ 服从高斯联合分布，则其概率密度函数可以表示为： $$ p(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{D/2} |\Sigma|^{1/2}} \exp\left(-\frac{1}{2} (\mathbf{x}-\mu)^T \Sigma^{-1} (\mathbf{x}-\mu)\right) $$ 其中，$\mu$ 是均值向量，$\Sigma$ 是协方差矩阵，且 $\Sigma$ 必须是对称正定的。[^3] ### 高斯联合分布的应用 高斯联合分布在多个领域有着广泛的应用，特别是在统计学、信号处理、机器学习等领域。以下是一些具体应用实例： - **状态估计**：在机器人学中，当处理复杂非线性系统的状态估计问题时，常常会利用到高斯分布的概念。例如，在使用扩展卡尔曼滤波器进行状态估计的过程中，系统状态和观测值都被假设为遵循高斯分布。 - **数据建模**：高斯混合模型（GMMs）经常被用来对数据集进行聚类分析，其中每个聚类都被建模为一个独立的高斯分布。 - **模式识别**：在模式识别任务中，可以通过计算给定类别下特征向量的概率密度来实现分类目的。 - **金融工程**：金融市场中的许多风险管理和资产定价模型也会采用多元高斯分布来模拟不同资产之间的相关性。 此外，高斯过程（GP）也是基于高斯联合分布的一种重要概念，它被用于回归和分类等机器学习任务中。高斯过程通过指定任意有限数量的输入点对应的输出值满足多元高斯分布来定义整个函数的空间 [^2]。 ### 示例代码 下面是一个简单的 Python 示例，展示如何生成符合特定均值向量和协方差矩阵的二维高斯联合分布样本： ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 定义均值向量 mean = [0, 0] # 定义协方差矩阵 cov = [[1, 0.5], [0.5, 1]] # 生成2D高斯联合分布样本 samples = np.random.multivariate_normal(mean, cov, size=1000) # 绘制散点图 plt.scatter(samples[:, 0], samples[:, 1]) plt.xlabel('X') plt.ylabel('Y') plt.title('Bivariate Gaussian Distribution Samples') plt.show() ``` 此代码片段首先导入必要的库，然后定义了一个均值向量 `mean` 和一个协方差矩阵 `cov`，接着使用 NumPy 的 `multivariate_normal` 函数生成了1000个样本，并绘制了这些样本的散点图。
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