从农夫砍大白菜到解决约瑟夫环的问题!

先简单说一下 农夫砍白菜的问题.

在一个院子里农夫中了一圈n颗大白菜,到了收货的季节.,作为一名有理想的农夫决定没数三个数就砍掉一颗,然后接着开始数三个数继续..

问 砍掉头m颗白菜的顺序是什么?

这个我的思想就是暴力模拟啊,

具体思路,先把每个位置上的白菜都初始化为自己的位置值,然后开始计数,到了3之后就将这里标记一下,同时砍掉的白菜总数加一,计数清零.

解决一些小数据问题是没有什么问题的,当遇到大数据的时候,无论是时间还是空间复杂度都非常的不划算,下面借用一下约瑟夫环的问题给出另一种解法

先描述下这个问题：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是(m-1)%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）: 　　   k k+1 k+2 … n-2, n-1, 0, 1, 2, … k-2 　　并且从k开始报0。现在我们把他们的编号做一下转换：

      k –> 0 　　k+1 –> 1 　　k+2 –> 2

n-1 –> n-1-k     0–> n-k

        … … 　　

     k-3 –> n-3 　　k-2 –> n-2

     序列1： 1, 2, 3, 4, …, n-2, n-1, n

     序列2： 1, 2, 3, 4, … k-1, k+1, …, n-2, n-1, n

     序列3： k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1, n, 1, 2, 3,…, k-2, k-1 　　

     序列4：1, 2, 3, 4, …, 5, 6, 7, 8, …, n-2, n-1 　　

      变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：

   　∵ k=m%n; 　　

       ∴ x’ = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n

       ∴x’= (x+ m%n)%n = (x+m)%n 　　得到 x‘=(x+m)%n

        如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 —- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

      令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n].

      递推公式: 　　f[1]=0; 　　f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)