P1463 [POI2001][HAOI2007]反素数题解

最新推荐文章于 2022-06-15 21:45:10 发布

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本文深入探讨了数论中的反素数问题，分析了前十个质数的乘积范围，指出任意数可由这十个质数的乘积表示，并详细解释了约数个数的计算公式。通过搜索算法找到了最小的反素数，提供了完整的C++代码实现。

P1463 [POI2001][HAOI2007]反素数题解

题意分析

首先这是一个数论题

$\tt Solution$

根据数据分析得出 $2^9<\text{前十个质数的乘积}$

由此判断出所有数中所含有的质数不会超过 $10$ 个

即 $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31$

因为每个数都可以分成(质数除外)若干质数的乘积

此题中只有 $10$ 个质数

那么约数个数的公式为 $f(n)=(a1+1)\times(a2+1)\times\dots(an+1)$

$a i$ 为 $n$ 分解出来的质数的指数

从大到小排列

因为约数相同,最小的数才一定是反质数

之后通过搜索算法找到答案即可。

$C o d e$

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int f[]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,21,23,29,31};//因为2*3*5*7*11...*31已经大于本题的数据
long long k,maxn,maxm;//所以约数也只有(质数) 10 个
void dfs(long long m,int ys,int xiabiao,int zhishu){// 搜索的数 约数 下标 指数
    if(m<maxm&&maxn==ys||ys>maxn){//∵约数相同最小的数才是反质数
        maxn=ys;
        maxm=m;
    }
    int j=0,nys;
    while(j<zhishu){
        j++;
        if(k/f[xiabiao]<m)
            break;
            m*=f[xiabiao];//n=p1^a1*p1^a2...*pk^ak
        nys=ys*(j+1);//函数 n的约数个数f(n)=(a1+1)*(a2+1)*...(ak+1)
        dfs(m,nys,xiabiao+1,j);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&k);
    dfs(1,1,1,30);
    printf("%d\n",maxm);
    return 0;
}