左偏树札记

用左偏树实现的优先队列，合并操作的时间复杂度为对数时间。关于左偏树为什么有此特点，我们还是要从左偏树的定义出发，此处我们对高度左偏树进行分析；

相关定义：

扩展二叉树：一棵扩展二叉树是一棵二叉树，其中所有空的子二叉树都被替换为一个方块节点(称为外部结点，而树中原来结点称为内部结点)；扩展二叉树是为讲解左偏树定义而引人的概念，并非真的是有方块节点存在，只是从概念上而言的。

                                                                                                                                          0                                                    如果x是外部结点

shorstest（x）：定义为从x到外部结点的最短路径长度。shorstest（x）= {

                                                                                                                                            1+min{ shorstest（LeftChild（x）），shorstest（RightChild（x））}          其他；

左偏树：是这样一棵二叉树，如果非空，那么公式：

                                                           shorstest（LeftChild（x）） >= shorstest（RightChild（x））

对于每个内部结点x都满足；

 

左偏树特性：

设r是一个具有n个结点（内部）的左偏树的根节点：

（a） n >= 2^shorstest(r) -1；

（b） 最右边从根到外部结点的路径是从跟到外部结点的最短路径。其长度shortstest（r）<=log2 （n+1）；（以2为底）；

注意其实，左偏树的合并就是沿着两棵待合并左偏树的（b）特性中的最短路径进行的，由于其长度有上限 logn 故合并这两棵树时的时间复杂度也就是O(log n)，这样就保证了左偏树合并的高效性；

总而言之：左偏树的左偏特性使其最右边的从根到外部结点的路径长度上限为 log(n), 其实一棵具有n个结点的左偏树当它为满二叉树时，该路径长度达到上限，该上限即为n个结点的满二叉树的高度 k=log2（n+1）；这样就保证了合并的高效性；