zoj 3543 - Number String(动规)

最新推荐文章于 2022-09-10 16:34:29 发布

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分类专栏： zoj

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本文详细解释了如何使用动态规划解决特定排列问题，包括状态定义、状态转移方程及复杂度优化。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

摘:http://blog.youkuaiyun.com/morgan_xww/article/details/6847305

为什么能够能从子问题转移？

　　在做dp[i][j]转移我们可以在前一状态中将超过j的值的数+1，就像从1,4,3,2 加3的时候变成1,5,4,2,3(增减性不变)

状态：dp[i][j] 表示长度为i以j结尾的合法的排列个数（由1...i组成的排列）。

状态转移:if(s[i]=='I') dp[i][j] = dp[i-1][1] + dp[i-1][2] + ... + dp[i-1][j-1];
if(s[i]=='D') dp[i][j] = dp[i-1][j+1] +...+ dp[i-1][i-1]+dp[i-1][i](这里等于dp[i][j],原理见附加结论);
if(s[i]=='?') dp[i][j] = dp[i-1][1] + dp[i-1][2] + ... + dp[i-1][i-1];
还要清楚一个结论：
给定一个长度为i-1的字符串，由{1,2,...,i}组成的合法排列数和由{1,2,...,j-1,j+1,...,i+1}
组成的合法排列数是相同的。

时间复杂度是O(n^3)的，但定义一个sum[i][j]利用部分求和，就转化成了O(n^2).

代码如下：

int main()
{
	while(~scanf("%s", s))
	{
		int len = strlen(s)+1;
		dp[1][1] = sum[1][1] = 1;
		for(int i = 2; i <= len; ++i)
			for(int j = 1; j <= i; ++j)
			{
				if(s[i-2]=='D') dp[i][j] = (sum[i-1][i-1]-sum[i-1][j-1]+mod)%mod;
				else if(s[i-2]=='I') dp[i][j] = sum[i-1][j-1];
				else if(s[i-2]=='?') dp[i][j] = sum[i-1][i-1];
				sum[i][j] = (sum[i][j-1]+dp[i][j])%mod;
			}
		printf("%lld\n", sum[len][len]);
	}
	return 0;
}