ZOJ 3543 Number String 【2011大连区域赛】【dp】

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本文介绍了一种使用动态规划解决特定字符串限制下排列计数问题的方法。通过定义状态dp[i][j]来记录满足条件的排列数量，并利用前缀和优化计算过程，最终实现了高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

给出一串由D,I,?构成的长为n的字符串，这个字符串表示满足某种规则的1到n+1的排列集合，D表示该位置数字比前面一个小，I表示该位置的数字比前面一个大，？表示不确定可D可I

比如

满足DI的数字排列有3,1,2和2,1,3

1<=n<=1000,求有多少种满足此条件的字符串

设计的dp如下

dp[i][j] 代表满足上述字符串前i-1项的长为i尾巴为j的1到i的排列数目

当第i-1项为D时

dp[i][j]=sigma(dp[i-1][k]),i-1=>k>=j

当第i-1项为I时

dp[i][j]=sigma(dp[i-1][k]),j>k>=1

最后输出sigma(dp[n+1][k]),1<=k<=n+1

为什么是这样，原因是1到i-1的排列的后面一位写上j的时候，把前面i-1个数大于等于j的数都加1，便得到一个新的1到i的排列

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <string>
using namespace std;
#define LL long long
const LL MOD=1000000007;
char str[2222];
LL dp[1111][1111];
LL sum[1111][1111];
int main(){
        #ifndef ONLINE_JUDGE
                freopen("H:/in.txt","r",stdin);
        #endif // ONLINE_JUDGE
        while(scanf("%s",str+2)!=EOF){
                memset(dp,0,sizeof(dp));
                memset(sum,0,sizeof(sum));
                dp[1][1]=1;
                sum[1][1]=1;
                LL len=strlen(str+2);
                for(LL i=2;i<2+len;i++){
                        for(LL j=1;j<=i;j++){
                                if(str[i]=='D' || str[i]=='?'){
                                        dp[i][j]+=sum[i-1][i-1]-sum[i-1][j-1];
                                        dp[i][j]=(dp[i][j]+MOD)%MOD;
                                }
                                if(str[i]=='I' || str[i]=='?'){
                                        dp[i][j]+=sum[i-1][j-1];
                                        dp[i][j]=(dp[i][j]+MOD)%MOD;
                                }
                                sum[i][j]=(sum[i][j-1]+dp[i][j])%MOD;
                        }
                }
                LL ans=0;
                for(LL i=1;i<=len+1;i++) ans=(ans+dp[len+1][i])%MOD;
                printf("%lld\n",ans);
        }
        return 0;
}