概率论自学day4-布尔不等式和Bonferroni不等式

1.2.2 The Calculus of Probabilities

1.2.8 Theorem 可明显自证的三条定理

(a) P(∅)=0,where ∅ is the empty set;

(b) P(A)<=1;

(c）P(A^c)=1-P(A).

简单用公理可证。

1.2.9 Theorem 没那么明显自证的三条定理

证明其实也不太难…
a.就右边移过去，分配律逆用就完事了。
b.其实是用了a.的结论
c.在所给的前提下，a式的右侧实际变为==P(B)-P(A).
又因为a左边>=0（公理非负性），所以P(B)>=P(A)

由b.和P(A∪B)<=1得出Bonferroni不等式

1.2.10 Example Bonferroni Inequality

Bonferroni不等式的意义，体现在：

• 已知P(A)和P(B)，
• 个体事件A、B的值足够大（否则得出的是一个正确但无用的负数…），
• 求事件交集A∩B的概率。

1.2.11 Theorem 布尔不等式

a.证明思路：
Ci之间disjoint，所以S可表示为Ci并集，再用分配律


概率函数P的可加性定义，见1.2.4概率论自学day2-概率论基础（1）_shang_an_la的博客-优快云博客

b.就是布尔不等式，指对于全部事件的概率不大于单个事件的概率总和。

书上给的证明方法我不太喜欢，还是推荐数学归纳法。

参考：

• 布尔不等式_百度百科——归纳法证明，简洁易懂。
• 【证明】【一题多解】布尔不等式（union bound）的证明_https://space.bilibili.com/59807853-优快云博客——提到了独立事件证明法，和书中思路类似，但不太推荐（因为看起来巨麻烦…）

布尔不等式和Bonferroni不等式的相似性

将布尔不等式应用到A^c上，则有
得到了Bonferroni不等式的更普遍形式。