Kernel Regression for Image Processing and Reconstruction（2007）

摘要：本文调整并扩展了内核回归思想，用于图像去噪，放大，插值，融合等等。本文与一些流行的现有方法建立了关键关系，并展示了几种这些算法（包括最近普及的双边滤波器）是如何构建框架的特例。

概述：本文主要研究核回归方法，来试图恢复由于成像系统的限制而破坏了的无噪的高频信息，还有退化过程，比如说压缩。我们研究回归，不仅用于插值定期采样帧（上采样），还用于恢复和增强噪声和可能不规则采样的图像。如图1所示，1a表示每个方向上将图像上采样两倍。1b表示将不规则采样的噪声图像插值到高分辨率网格上。流程如图2所示：

本文主要应用：（1）提出经典的核回归方法，并说明该方法是降噪和插值的一个有效工具，且建立起与其他的一些方法之间的关系。（2）将经典核回归推广到自适应的核回归，并给出它在降噪和插值应用中的非常好的结果。

 经典核回归：

A.一维的情形

经典参数图像处理方法依赖于感兴趣信号的特定模型，并寻求在存在噪声的情况下计算该模型的参数。

非参数方法依赖于数据本身来决定模型的结构，在这种情况下，这种隐式模型被称为回归函数。这种方法的例子呈现在从去噪到升级和插值的各种问题中。 然后产生基于估计参数的生成模型作为基础信号的最佳估计。

与参数方法相比，非参数方法依赖于数据本身来决定模型的结构，在这种情况下，这种隐式模型被称为回归函数。随着机器学习方法的出现，核方法已经变得众所周知并且经常用于模式检测和辨别问题。与本文在此推广的一般理论相关的几个概念已经以不同的形式重新发现，并以不同的名称呈现，例如归一化卷积，双边滤波，边缘定向插值和移动最小二乘法。

一维数据：

表示未知的回归函数，核回归的目标是通过观察数据y估计未知回归函数，同时这个过程也可以看作去噪的过程。是独立且均匀分布零均值噪声值（否则假定没有特定的统计分布）。核回归在全局信号或噪声模型中，用于以最小的假设计算函数的逐点估计。

假设对某个N阶是平滑的，如果在X在处接近样本，有N项泰勒级数：

上式说明如果把泰勒级数作为回归函数的局部估计，则估计参数就是基于数据的回归函数估计，参数给出了回归函数N阶微分的局部信息。因为这个方法是基于局部逼近的，所以一个符合逻辑的思想就是：给定点附近的采样点比较远采样点权重要高。使用最小二乘公式解决以下优化问题：

是核函数，它以估计点为中心，用来控制各个采样点的权重：距离x越近的点，权值越大。h是平滑参量（标量），用来控制这个核尺度。核函数形式不确定，只需要满足关于y轴对称并在零处取最大值。

K是对称函数，0处最大。满足：