动态规划01背包与完全背包的C语言实现

最新推荐文章于 2025-11-03 15:19:19 发布

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本文详细介绍了01背包和完全背包问题的基础概念及解决方法，包括状态转移方程和代码实现，并通过实例帮助理解两种背包问题的区别与联系。

01背包是基础的背包问题，即容量为v的背包，给你n件物品，每件物品只有一件，每件物品所占体积vi, 价值wi已知，求此背包所能容纳的前提下，让在其中物品价值最大。

此问题状态方程为发f[i][v] = max(f[i-1][v], f[i-1][v-vi[i]]+wi[i]), 即前i件物品放入容积为v的背包中得到的最大价值。

因为每件物品只有一件，所以第i件物品有两种选择，即放或不放。

max(f[i-1][v], f[i-1][v-vi[i]]+wi[i])中，f[i-1][v]即选择不放，价值保持放入i-1 个物品时的价值；
而f[i-1][v-vi[i]]+wi[i]即选择将第i件物品放入，从其中选择较大的值就是即为前i件物品放入容积为v的背包得到的最大价值，最后f[n][v]就是要求的价值最大值；

code：

for(i = 0;i<n;i++)
        {
            for(j = vi[i];j<=v;j++)
            {
                f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-vi[i]]+wi[i]);
            }
        }

另外，还可用一维数组代替二维数组的方法实现空间优化，即用最新的一组数据代替原先的上一组数据，不过此方法写循环式需要逆序循环，即二层循环从v开始一直到vi[i],这样就保证了每个物品只拿一次，而顺序则不能保证，可能拿多次。
于是f[v] = max(f[v], f[v-vi]+wi[i], 最后的f[v]即为要求的最大价值。

code：

for(i = 0;i<n;i++)
        {
            for(j = v;j>=vi[i];j--)
            {
                f[j] = max(f[j], f[j-vi[i]]+wi[i]);
            }
        }

例题1：

Problem Description

多组输入。

对于每组输入，第一行有两个整数N，X（1 < = N < = 100，1 < = X < = 1000），分别表示哈士奇的数量和高数巨的钱数

对于每组数据，输出一个整数，表示高数巨最多可以获得的萌值，每组输出占一行

Example Input

2 100

50 20

60 40

3 100

20 55

20 35

90 95

1 10

20 50

Example Output

明显的01背包问题，这里所带的钱就相当于背包的体积，萌值就是价值，每条二哈的价钱可看做每个物品所占的体积。

code：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int max(int a, int b)
{
    if(a>b) return a;
    else return b;
}
int main()
{
    int b[1200];
    int n, x, pi[1200], mi[1200], i, j, a;
    while(~scanf("%d%d", &n, &x))
    {
        memset(b, 0, sizeof(b));
        for(i = 0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d%d", &pi[i], &mi[i]);
        }
        for(i = 0;i<n;i++)
        {
            for(j = x;j>=pi[i];j--)
            {
                b[j] = max(b[j], b[j-pi[i]]+mi[i]);
            }
        }
        printf("%d\n", b[v]);
    }
}
有了01背包基础，接下来的完全背包聚会简单很多，完全背包实际上就是将每种物品的数量从一件变为无限件。那么设某i件物品拿k件，那么状态方程为
f[i][v]=max(f[i-1][v-k*v[i]]+k*w[i]|0<=k*v[i]<=v)，这样需要三层循环，找出k为何值时使得f得到最大值；
另外完全背包也可以使用一维数组进行空间优化， 可以用01背包提到过的正序循环，这样就可以保证每件物品拿多次。
  01背包中要按照v=V..0的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状态f[i][v]是由状态f[i-1] [v-c[i]]递推而来。换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时，依据的是一个绝无已经选入第i件物品的 子结果f[i-1][v-v[i]]。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[i][v-v[i]]，所以就可以并且必须采用v=0..V的顺序循环。（本段节录自背包九讲）
code：
for(i = 0;i<n;i++)
        {
            for(j = vi[i];j<=v;j++)
            {
                f[j] = max(f[j], f[j-vi[i]]+wi[i]);
            }
        }

例题1：

Problem Description

话说，上次小P到伊利哇呀国旅行得到了一批宝藏。他是相当开心啊，回来就告诉了他的好基友小鑫，于是他们又结伴去伊利哇呀国寻宝。

这次小P的寻宝之路可没有那么的轻松，他们走到了一个森林，小鑫一不小心被触发了机关，被困在了一个大笼子里面，笼子旁边上有一道题目和一个密码锁，上面说只要解出此题输入密码即可救出被困人。小鑫不是很聪明，所以他做不出来，他知道小P很笨，更解不出来。所以他就让小P独自回去，不用管他。但是小P重情重义不会抛弃他离去。他说：“不，好基友一起走！”。于是就感动了上帝，上帝特派你来替他们解决问题。聪明的你要加油了啊！

题目描述：给你n种物品和一个体积为v的包包。每种物品有无数种，体积是vi价值是wi。求出包包v所能装的最大价值的东西。

Input

多组输入。第一行有两个正整数n(0<n<=10000), v(0<v<= 10000)。接下来两行每行有n个数字。第一行表示每种物品的价值wi(0<wi<100)，第二行表示每种物品的体积vi(0<vi<100)。

Output

输出最多可以得到的价值。输出结果救出小鑫。

Example Input

5 20
1 2 3 4 5
2 6 3 5 4

Example Output

code：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int max(int a, int b)
{
    if(a>b) return a;
    else return b;
}
int main()
{
    int n, v, vi[10010], wi[10010], a[10010];
    int i, j;
    while(~scanf("%d%d", &n, &v))
    {
        memset(a, 0, sizeof(a));
        for(i = 0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d", &wi[i]);
        }
        for(i = 0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d", &vi[i]);
        }
        for(i = 0;i<n;i++)
        {
            for(j = vi[i];j<=v;j++)
            {
                a[j] = max(a[j], a[j-vi[i]]+wi[i]);
            }
        }
        printf("%d\n", a[v]);
    }
}