平衡二叉树（AVL树）

平衡二叉树是在二叉搜索树的基础上增加了限制：

①：树的深度为logN。

②：每个节点的左子树和右子树的高度最多差一的二叉搜索树。

基本操作：调整！！！

引入平衡因子：左右子树的高度差。

当平衡因子绝对值大于等于2的时候，就需要调整。

单旋转比较简单，直接把被破坏节点下一个节点提上去，然后再根据二叉搜索树的特点进行换儿子即可。如下图：

实现：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

#define ElementType int

typedef struct BiNode
{
    ElementType Data;
    int Height;
    struct BiNode* Left;
    struct BiNode* Right;
} BiNode, *BinTree,*Position;

int Height(Position P)
{
    if(!p)return 0;
    else return P->Height;
}//为什么非要用这个函数？直接用结构体中的不行吗？---NULL！！！

Position Single_Rotate_With_Left(Position K2)//把k2的左儿子k1提上去，k2当k1的右儿子。
{
	Position K1 = K2->Left;
	K2->Left = K1->Right;//换儿子
	K1->Right = K2;//提上去
	K2->Height = max(Height(K2->Left), Height(K2->Right)) + 1;
	K1->Height = max(Height(K1->Left), Height(K1->Right)) + 1;
	return K1;
}
Position Single_Rotate_With_Right(Position K2)
{
	Position K1 = K2->Right;
	K2->Right = K1->Left;
	K1->Left = K2;
	K2->Height = max(Height(K2->Left), Height(K2->Right)) + 1;
	K1->Height = max(Height(K1->Left), Height(K1->Right)) + 1;
	return K1;
}

双旋转是“麻烦节点”在左儿子的右边，或者右儿子的左边。如下图：这时候是把麻烦节点提上去，然后再进行儿子的交换即可。

实现：可以通过两次单旋转进行完成，避免了换儿子的过程。

Position Double_Rotate_With_Left(Position K3)
{
	K3->Left = Single_Rotate_With_Right(K3->Left);
	return Single_Rotate_With_Left(K3);
}


Position Double_Rotate_With_Right(Position K3)
{
	K3->Right = Single_Rotate_With_Left(K3->Right);
	return Single_Rotate_With_Right(K3);
}

Position Double_Rotate_With_Left(Position K3)
{
    Position K2=K3->Left->Right,K1=K3->Left;
       K3->Left=K2->Right;//换儿子
       K2->Right=K3;//提
       K1->Right=K2->Left;//换儿子
       K2->Left=K1;//提
}

AVL树的插入，在二叉搜索树插入的基础上，增添调整就可以！

注意这里有递归回溯。(拓展GCD有没有)。

至于删除，我的思路是假设是删除左边了，这时候要看根节点右边的树高是否比左边树高大于等于2，然后进而根据右子树对应的左树高和右树高，右大于左，那就要对根节点进行RR旋转，否则RL旋转。（网上都是引入的平衡因子，也就是高度差，我这种想法的正确与否，考完期末再写个例子进行检验~！插入的历程是正确的（直接在黑书上拿来的。））。

BinTree Insert( ElementType X, BinTree BST )
if( !BST )
{
    BST = (Bintree)malloc(sizeof(struct TreeNode));
    BST->Data = X;
    BST->Left = BST->Right = NULL;
    BST->Height=1;
}
else if( X < BST->Data )
{
    BST->Left = Insert( X, BST->Left);
    if(Height(BST->Left)-Height(BST->Right)==2)//自底向上回溯
        if(X<BST->Left->Data)
            BST=Single_Rotate_With_Left(BST);
        else BST=Position Double_Rotate_With_Left(BST);

}
else if( X > BST->Data )
{
    BST->Right = Insert( X, BST->Right);
    if(Height(BST->Right)-Height(BST->Left)==2)
        if(X>BST->Right->Data)   BST=Single_Rotate_With_Right(BST);
        else BST=Double_Rotate_With_Right(BST);
}

/* else X已经存在，什么都不做 */
BST->Height=max(Height(BST->left),Height(BST->Right))+1;//更新树高
return BST;
}








BinTree Delete( ElementType X, BinTree BST )
{
    Position Tmp;
    if( !BST ) printf("要删除的元素未找到");
    else if( X < BST->Data )
    {
        BST->Left = Delete( X, BST->Left); /* 左子树递归删除 */
        if(Height(BST->Right)-Height(BST->Left)==2)
            if(Height(BST->Right->Right)>=Height(BST->Right->Left))
                Single_Rotate_With_Right(BST);
            else Double_Rotate_With_Right(BST);
    }
    else if( X > BST->Data )
    {
        BST->Right = Delete( X, BST->Right);
        if(Height(BST->Left)-Height(BST->Right)==2)
            if(Height(BST->Left->Left)>=Height(BST->Left->Right))
                Single_Rotate_With_Left(BST);
            else Double_Rotate_With_Left(BST);
    }/* 右子树递归删除 */
    else /*找到要删除的结点 */
        if( BST->Left && BST->Right )
        {
            /*被删除结点有左右两个子结点 */
            Tmp = FindMin( BST->Right ); /*在右子树中找最小的元素填充删除结点*/
            BST->Data = Tmp->Data;
            BST->Right = Delete( BST->Data, BST->Right); /*在删除结点的右子树中删除最小元素*/
            if(Height(BST->Right)-Height(BST->Left)==2)
                if(Height(BST->Right->Right)>=Height(BST->Right->Left))
                    Single_Rotate_With_Right(BST);
                else Double_Rotate_With_Right(BST);
        }
        else
        {
            /*被删除结点有一个或无子结点*/
            Tmp = BST;
            if( !BST->Left ) /* 有右孩子或无子结点*/
                BST = BST->Right;
            else if( !BST->Right ) /*有左孩子或无子结点*/
                BST = BST->Left;
            free( Tmp );
        }
    BST->Height=max(Height(BST->left),Height(BST->Right))+1;//更新树高
    return BST;
}