B树与MySql

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B树是一种为磁盘或辅助设备设计的平衡二叉树，具有高度为O(lgn)的特点，适用于存储在磁盘上的数据。本文详细介绍了B树的定义、特性及与红黑树的区别，并探讨了B树在数据库索引中的应用。

B树是为磁盘或其它直接存取的辅助设备而设计的一种平衡二叉树。一颗有n个节点的B树和红黑树一样高度为O(lgn)。但其实B树的高度远小于红黑树。
B树在算法导论上是这样定义的：
一棵B树T是具有以下性质的有根树（根为T.root):
1.每个结点x有下面性质：
a.x.n，当前存储在结点x中的关键字个数
b.x.n个关键字本身，以非降序存放
c.x.leaf，一个布尔值，如果x是叶节点则为TRUE，否则为FALSE
2.每个内部结点还包含x.n+1个指向其孩子的指针x.c1,x.c2,…叶节点没有孩子，所以它们的ci没有定义
3.关键字x.keyi对存储在各个子树中的关键字范围加以分割
4.每个叶节点具有相同的深度，即树的高度h
5.每个结点所包含的关键字个数有上界和下界。用一个被称为B树的最小度数的固定整数t>=2来表示这些界：
a.除了根节点以外的每个节点必须至少有t-1个关键字。因此，除了根节点以外的每个内部结点至少有t个孩子。如果树非空，根结点至少有一个关键字
b.每个结点至多包含2t-1个关键字。因此，一个内部结点至多有2t个孩子

B-TREE-SEARCH(x,k)

i=1
while i<=x.n and k>x.keyi
    i=i+1
if i<=x.n and k == x.keyi
    return (x,i)
elseif x.leaf
    return nil
else DISK_READ(x,ci)
    return B-TREE-SEARCH(x.ci,k)

B-TREE-CREATE(T)

x = ALLOCATE-NODE() //创建一个结点
x.leaf = TRUE 
x.n = 0
DISK-WRITE(x)
T.root = x

B-TREE-SPLIT-CHILD(x,i) //此时x是非满结点的，x的i下标为满结点

z = ALLOCATE-NODE()  
y = x.ci;
z.leaf = y.leaf
z.n = t-1
for j=1 to t-1          //调整z的关键字
    z.keyj = y.keyj+t   
if not y.leaf           //调整z的孩子
    for j=1 to t
        z.cj = y.cj+t
y.n = t-1
for j=x.n+1 downto i+1  //调整x的孩子位置
    x.cj+1 = x.ci
x.ci+1 = z
for j=x.n downto i
    x.keyj+1 = x.keyj
x.keyi = y.keyt
x.n +=1
DISK-WRITE(y)
DISK-WRITE(z)
DISK-WRITE(x)

B-TREE-INSERT(T,k)

r=T.root
if r.n==2t-1    //处理根结点为满的情况，对根结点分裂是增加B树高度的唯一途径
    s=ALLOCATE-NODE()
    T.root=s
    s.leaf = FALSE
    s.n=0
    s.c1=r
    B-TREE-SPLIT-CHILD(s,1);//1代表是s的第一个孩子
    B-TREE-INSERT-NONFULL(s,k)
else B-TREE-INSERT-NONFULL(r,k)

B-TREE-INSERT-NONFULL(x,k)

i=x.n
if x.leaf
    while i>=1 and k<x.keyi
        x.keyi+1=x.keyi
        i=i-1
    x.keyi+1=k
    x.n=x.n+1
    DISK-WRITE(x)
else while i>=1 and k <x.keyi  //x不是叶节点,决定向哪个子结点递归下降
        i=i-1
    i=i+1
    DISK-READ(x.ci)
    if x.ci.n==2t-1
        B-TREE-SPLIT-CHILD(x,i)
        if k>x.keyi           //这两行决定向哪个孩子下降正确
            i=i+1
    B-TREE-INSERT-NONFULL(x.ci,k)

B+Tree是B树的变种，也是MySql索引的实现方式有以下不同点：

每个节点的指针上限为2d而不是2d+1。
内节点不存储data，只存储key；叶子节点不存储指针。

还有的B+树是带顺序指针的，方便顺序访问。
首先，为什么MySql使用B树作为索引的数据结构？
索引文件由于较大，需要存储在磁盘中。而读取磁盘文件的时候，操作系统会一次读取相邻的一段数据，作为预读。预读时，读取的单位是页，而我们存储时，将一个节点存成一页。
B树中一次检索最多需要h-1次IO操作，复杂度渐进复杂度为O(h)=O(logdN)。d是很大的，所以效率是很高的。而红黑树的h较大，在逻辑上近的结点可能距离很远。所以效率很低。