关于裴蜀定理的一些证明

转载自 http://blog.youkuaiyun.com/discreeter/article/details/69833579

裴蜀定理： 
对任何a,b∈Z和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性不定方程（称为裴蜀等式）：ax+by=c有整数解(x,y)当且仅当d∣c，可知有无穷多解。特别地，一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。 
推论： 
a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1

对于(a,b∈Z)，ax+by=gcd(a,b)一定有整数解x,y的证明： 
设d=gcd(a,b)，可得d∣a，d∣b，且d∣(ax+by)。 
设s是a与b的线性组合集中最小的正元素，并且对于某个x,y∈Z，有s=ax+by，可知s∈Z。 
设q=⌊a/s⌋，则有r=amods=a−qs=a−q(ax+by)=a(1−qx)+b(−qy)，因此r也是a与b的一个线性组合，已知s是这个线性集合中的最小正整数，又0≤r<s，可得r=0，因此有s∣a，同理有s∣b，因此s是a与b的公约数，所以有d≥s。因为对于任意x,y∈Z，有d∣(ax+by)，而对于某个x,y∈Z，有s=ax+by，所以有d∣s。但d∣s且s>0，可得d≤s。综合d≤s和d≥s，得d=s，故s=gcd(a,b)。我们已知s是a与b的线性组合集中的最小正元素，故ax+by=gcd(a,b)一定有整数解x,y，亦可知对于a,b∈Z，gcd(a,b)是ax+by(x,y∈Z)的最小正元素

对于(a,b∈Z)，ax+by=c有整数解的条件是gcd(a,b)∣c的证明： 
充分性：设d=gcd(a,b)，已知ax+by=d一定有整数解，设其解为(x0,y0)。d∣c，则存在k∈Z，使得c=kd=k(ax+by)=a(kx)+b(ky)，即解为(kx0,ky0)。 
必要性：因x1,y1∈Z，设d=gcd(a,b)，有d∣a，d∣b，d∣(ax1,by1)，即d∣c

 

Proof by Well-OrderingPrinciple

Let the set S to be all positive integers of the form ua + vb for some Integer u and v. Then S must have at least one element.[let u = 1 and v = 1 and a+b is in S]

Let gcd(a, b) = d Then d|a and d|b,by the def of divisibility.a = dn, b = dm for some integer n,m.

then ua + vb = dnu + dmv =d(nu + mv)  [nu + mv is a integer because sum and product of integers]

thus d | (ua + vb) .therefore all of the element in S is divisible by d.

By well-ordering principle,S contains a least element called it t,Then d | t. by theorem 3.3.3 t>= d.   (1)

Let q = ⌊a/s⌋ ,then r = a mod t = a - qt = a - (ua +vb)q = a(1-qu) + b(-qv). 

And (1-qu), (-qv)are all integers, thus r is the integer has the form au + bv. and  because 0<= r < t. and t is the least element in set S.

Hence r can't be in set S , so r must be zero. and t | a.

By the same step we can proved that t | b. Hence t is a common divisor of a and b. and therefore t<= gcd(a, b) = d. (2)

by (1) (2)  t >=d and t<=d then t = d. The least element in set S is the gcd(a, b). QED