关于裴蜀定理的一些证明

转载自 http://blog.youkuaiyun.com/discreeter/article/details/69833579

裴蜀定理： 
对任何 a,b∈Z 和它们的最大公约数 d ，关于未知数 x 和 y 的线性不定方程（称为裴蜀等式）： ax+b y =c 有整数解 (x,y ) 当且仅当 d∣c ，可知有无穷多解。特别地，一定存在整数 x,y ，使 ax+b y =d 成立。 
推论： 
a,b 互质的充要条件是存在整数 x,y 使 ax+b y =1

对于 (a ,b∈Z)， ax+ by=gcd(a,b)一定有整数解 x, y的证明： 
设 d=g c d (a,b) ，可得 d∣a ， d∣b ，且 d∣(a x+b y ) 。 
设 s 是 a 与 b 的线性组合集中最小的正元素，并且对于某个 x,y ∈Z ，有 s=a x+b y ，可知 s∈Z 。 
设 q=⌊a / s⌋ ，则有 r=a m o d s=a−q s=a−q (a x+b y ) =a(1−q x) +b(−q y ) ，因此 r 也是 a 与 b 的一个线性组合，已知 s 是这个线性集合中的最小正整数，又 0≤r<s ，可得 r=0 ，因此有 s∣a ，同理有 s∣b ，因此 s 是 a 与 b 的公约数，所以有 d≥s 。因为对于任意 x,y ∈Z ，有 d∣(a x+b y ) ，而对于某个 x,y ∈Z ，有 s=a x+b y ，所以有 d∣s 。但 d∣s 且 s>0 ，可得 d≤s 。综合 d≤s 和 d≥s ，得 d=s ，故 s = gcd(a,b) 。我们已知 s 是 a 与 b 的线性组合集中的最小正元素，故 ax+b y =g c d (a,b) 一定有整数解 x,y ，亦可知对于 a,b∈Z ， gcd(a,b) 是 ax+b y (x,y ∈Z ) 的最小正元素

对于 (a ,b∈Z)， ax+ by=c有整数解的条件是 gcd (a,b)∣c的证明： 
充分性：设 d=g c d (a,b) ，已知 ax+b y =d 一定有整数解，设其解为 (x 0 , y 0 ) 。 d∣c ，则存在 k∈Z ，使得 c=k d =k(a x+b y ) =a(k x) +b(k y ) ，即解为 (kx 0 ,k y 0 ) 。 
必要性：因 x 1 ,y 1∈Z ，设 d=g c d (a,b) ，有 d∣a ， d∣b ， d∣(a x 1 ,b y 1 ) ，即 d∣c

 

Proof by Well-OrderingPrinciple

Let the set S to be all positive integers of the form ua + vb for some Integer u and v. Then S must have at least one element.[let u = 1 and v = 1 and a+b is in S]

Let gcd(a, b) = d Then d|a and d|b,by the def of divisibility.a = dn, b = dm for some integer n,m.

then ua + vb = dnu + dmv =d(nu + mv)  [nu + mv is a integer because sum and product of integers]

thus d | (ua + vb) .therefore all of the element in S is divisible by d.

By well-ordering principle,S contains a least element called it t,Then d | t. by theorem 3.3.3 t>= d.   (1)

Let q = ⌊a/s⌋ ,then r = a mod t = a - qt = a - (ua +vb)q = a(1-qu) + b(-qv). 

And (1-qu), (-qv)are all integers, thus r is the integer has the form au + bv. and  because 0<= r < t. and t is the least element in set S.

Hence r can't be in set S , so r must be zero. and t | a.

By the same step we can proved that t | b. Hence t is a common divisor of a and b. and therefore t<= gcd(a, b) = d. (2)

by (1) (2)  t >=d and t<=d then t = d. The least element in set S is the gcd(a, b). QED