[Julia] LinearAlgebra.jl 自带包

定义数组

A=[1 2 3 0;
   4 1 6 0; 
   7 8 1 0; 
   0 0 0 2];
A'
B=fill(1,(4,4))
A*B

4×4 Matrix{Int64}:
6 6 6 6
11 11 11 11
16 16 16 16
2 2 2 2
等价指令

A=[1; 4; 7; 0;;
     2;1;8;0;;
     3;6;1;0;;
     0;0;0;2];

单位矩阵

 E=Matrix(I,3,3)

3×3 Matrix{Bool}:
1 0 0
0 1 0
0 0 1

线性代数常用运算

线性代数常用运算

代码	名称	数学表示
A’	转置	$$A^{\top }$$
tr(A)	迹	$$\mathrm{tr}A=\sum _{i=1}^n{A}_{i,i}$$
det(A)	行列式	$\det A$
logdet(A)	对数化行列式	$\log (\det A)$
nullspace(A)	核空间,零空间	$\ker A$
A* B	矩阵乘法	$AB$
A .* B	矩阵 Hadamard 积， 数组乘积	$A\circ B$
kron(A, B)	矩阵的Kronecker 积	$A\otimes B$
inv(A)	逆	$A^{-1}$, $A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$
pinv(A)	伪逆	$A^{†}$, $A^{†}A{A}^{†}=A^{†}$,$A{A}^{†}A=A$
eigvals(A)	特征值	$\lambda (A)$, $|\lambda I-A|=0$
eigvecs(A)	特征向量	$\xi (A)$, $\lambda \xi =A\xi$
adjoint(A)	伴随矩阵	$A^{\ast }$, $A^{\ast }A=A{A}^{\ast }=|A|I$

矩阵分解

代码	名称	数学表示
lu(A)	LU 分解	$A=LU$, $L$ 下三角矩阵, $U$ 是上三角矩阵
qr(A)	QR 分解	$A=QR$, $Q$ 是正规正交矩阵, $R$是上三角矩阵
svd(A)	SVD 分解	$A=VSD$, $V$ 正交矩阵, $S$ 奇异值对角矩阵, $D$ 正交矩阵
eigen(A)	特征值分解	$A=LD{L}^{\top }$, $L$ 下三角矩阵, $D$特征值对角阵
shur(A)	Shur 分解	$A=UT{U}^H$, $U$ 酉矩阵, $T$ 上三角矩阵
cholesky(A)	Cholesky 分解	$A=U{U}^H$, $U$ 酉矩阵,$A$是正定矩阵
ldlt(S)	LDLt 分解	$S=LD{L}^{\top }$， $S$ 是对称三对角矩阵，L是单位下三角矩阵， $D$ 是对角矩阵
hessenberg(S)	Hessenberg 分解	$S=QH{Q}^{\top }$， $Q$ 是正交矩阵，$H$ 是上Hessenberg 矩阵
bunchkaufman(S)	Bunch-Kaufman 分解	$S=DU{D}^{\top }$, $D$ 是单位上三角矩阵, $U$ 是三对角矩阵, $S$ 是共轭对称矩阵

using LinearAlgebra
L,U=factorize(A);
L,U=lu(A);
Q,R=qr(A);
sD,sS,sV=svd(A);
Va,Ve=eigen(A);
sT,sU=schur(A);
cU=cholesky(A*A');
hQ,hH=hessenberg(A);
bD,bU,bP=bunchkaufman(A+A');
S = SymTridiagonal([3., 4., 5.,2.], [1., 2.,1.])
F = ldlt(S)

矩阵方程组

代码	方程
lyap(A,C)	$$AX+X{A}^{\top }+C=0$$
sylvester(A,B,C)	$$AX+XB+C=0$$

A=[2 1; 0  2];
C=[1 1; 0 1];
X=lyap(A,C)

A*X+X*A'+C

数组范数

代码	范数类型
norm(A,2)	Fobineus 范数
norm(A,1)	1 范数
norm(A,1.5)	1.5 范数
norm(A,Inf)	$\infty$ 范数

norm(A,2)^2-tr(A*A')

向量诱导范数与条件数

$$\Vert A{\Vert }_p=\underset{\Vert u{\Vert }_p=1}{\sup }\Vert Au{\Vert }_p$$

代码	范数类型
opnorm(A,2)	谱范数
opnorm(A,1)	1-范数
opnorm(A,Inf)	$\infty$-范数
cond(A,2)	谱范数条件数
cond(A,1)	1-范数条件数
cond(A,Inf)	$\infty$-范数

opnorm(A,2)

向量空间

线性方程组

A\B, $Ax=B$, $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n},b\in {\mathbb{R}}^m$. 当 $m>n$ 时给出最小二乘解.

内积

dot(a,b), $a^{\top }b$, $a,b\in {\mathbb{R}}^n$

外积

cross(a,b), $a\times b$, $a,b\in {\mathbb{R}}^3$

A = [1 0; 1 -2; 3 1]; B = [32; -4; 7];
A\B
Va=[1; 0; 2]; Vb=[2; 1; 0]
dot(Va,Vb)
Va ⋅ Vb
Va=[1; 0; 2]; Vb=[1; 0; -1]
cross(Va,Vb)
Va × Vb

矩阵函数级数

代码	数学表示
exp(A)	$$\exp (A)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{A^n}{n!}$$
cis(A)	$$e^{iA}$$
A^q	$$\exp (q\log (A))$$
A^b	$$\exp (\log (b)A)$$
log(A)	$$Im(\lambda (\log (A)))\in (-\pi ,\pi )$$

类似的还有, sqrt, sin, sincos, sinh, asin, asinh 等