A%B Problem

博客围绕区间质数个数查询问题展开,介绍了题目背景、描述、输入输出格式及样例,还给出了数据范围和约定,同时提及素数定义及判断素数的程序。

题目背景
题目名称是吸引你点进来的

实际上该题还是很水的

题目描述
区间质数个数

输入格式
一行两个整数 询问次数n,范围m

接下来n行,每行两个整数 l,r 表示区间

输出格式
对于每次询问输出个数 t,如l或r∉[1,m]输出 Crossing the line

输入输出样例
输入 #1复制
2 5
1 3
2 6
输出 #1复制
2
Crossing the line
说明/提示
【数据范围和约定】

对于20%的数据 1<=n<=10 1<=m<=10

对于100%的数据 1<=n<=1000 1<=m<=1000000 -109<=l<=r<=109 1<=t<=1000000

素数(质数)的定义大家小学都学过:除了1和它本身没有其他约数的数叫素数,有其他约数的叫合数,1既不是素数,也不是合数;

(这个先搁置一边)

我们判断素数的程序大家应该都写过

#include<cstdio>
using namespace std;

long int n,m,i,j,l,r,a[1000005];

int main(){
    scanf("%ld%ld",&n,&m);
    a[2]=1;
    for(i=3;i<=m;i++){
        int x=0;
        for(j=2;j*j<=i;j++){
            if(i%j==0){
                x=1;
                break;
            }
        }
        if(x==1){
            a[i]=a[i-1];
        }
        else{
            a[i]=a[i-1]+1;
        }
    }
    while(n--){
        scanf("%ld%ld",&l,&r);
        if((l<1)||(r>m)){
            printf("Crossing the line\n");
            continue;
        }
        printf("%ld\n",a[r]-a[l-1]);
    }
    return 0;
}
### 关于C++ P1865 A%B Problem 使用欧拉筛的解决方案 #### 问题分析 P1865 A%B Problem 是一个涉及素数筛选的经典题目,通常可以通过线性时间复杂度的 **欧拉筛法** 来高效解决。欧拉筛是一种高效的素数筛选算法,能够在 $O(n)$ 的时间内找到小于等于某个整数的所有素数。 以下是基于欧拉筛法实现该问题的具体代码和解释: --- #### 欧拉筛的核心原理 欧拉筛通过标记合数的方式排除掉所有非素数的数字,其核心在于利用最小质因数来唯一表示每一个合数。这种方法可以有效避免重复标记,从而达到线性的时间复杂度[^1]。 --- #### 实现代码 以下是一个完整的 C++ 实现代码,用于解决 P1865 A%B Problem 并结合欧拉筛法完成任务: ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; const int MAX_N = 1e7 + 10; // 定义最大范围 bool is_prime[MAX_N]; // 是否为素数标志数组 int primes[MAX_N], cnt = 0; // 存储素数列表及其数量 // 初始化欧拉筛 void euler_sieve(int n) { fill(is_prime, is_prime + n + 1, true); is_prime[0] = is_prime[1] = false; for (int i = 2; i <= n; ++i) { if (is_prime[i]) { primes[cnt++] = i; // 记录当前素数 } for (int j = 0; j < cnt && i * primes[j] <= n; ++j) { is_prime[i * primes[j]] = false; // 标记合数 if (i % primes[j] == 0) break; // 确保每个合数只被它的最小质因子标记一次 } } } int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); int a, b; cin >> a >> b; // 如果b大于a,则无解 if (b > a || !b) { cout << "-1"; return 0; } // 执行欧拉筛 euler_sieve(a); vector<int> results; for (int i = 0; i < cnt; ++i) { if (primes[i] % b != 0) continue; // 排除不满足条件的素数 results.push_back(primes[i]); } if (results.empty()) { cout << "-1"; // 若没有符合条件的结果则输出-1 } else { for (auto num : results) { cout << num << ' '; // 输出所有符合条件的素数 } } return 0; } ``` --- #### 代码说明 1. **初始化部分**: - `MAX_N` 设置了数据的最大范围。 - `is_prime[]` 数组用来记录某数值是否为素数。 - `primes[]` 数组存储所有的素数,`cnt` 统计素数的数量。 2. **欧拉筛逻辑**: - 对于每个数字 $i$,如果它是素数,则将其加入到 `primes[]` 列表中。 - 同时,对于已知的每一对 $(i, prime_j)$,计算它们的乘积并标记为合数。 - 当发现 $i \% prime_j == 0$ 时停止进一步扩展,因为更大的倍数会被后续更小的质因数覆盖。 3. **输入处理与结果过滤**: - 输入 $a$ 和 $b$,判断是否存在合法解。 - 遍历所有素数,保留那些能被 $b$ 整除的部分作为最终答案。 4. **边界情况**: - 如果不存在任何符合条件的素数,则返回 `-1` 表示无解。 --- #### 时间复杂度与空间复杂度 - **时间复杂度**: 欧拉筛本身是 $O(n)$ 的,因此整体效率非常高。 - **空间复杂度**: 主要由布尔型数组 `is_prime[]` 和素数存储数组决定,约为 $O(n)$。 --- ### 结论 上述代码实现了 P1865 A%B Problem 的需求,并采用了经典的欧拉筛法优化性能。此方法适用于大规模数据场景下的快速筛选操作[^1]。 --- 相关问题
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