LaTex数学公式笔记—数学结构

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1. 数学公式形式： {#1}

• 1.行内（inline style），或正文格式：$......$, 或\(…\)
• 例如：$x_1=y_1 $，$ 12*12=144 $：$x_1=y_1$，$12\ast 12=144$
• 2.显示（display style），或行间、列表格式：$$......$$,或 \ […\ ]
• $$ 4+4 = 8 $$

$$4+4=8$$

• 3.公式中的中文：$ \text{被减数} - \text{减数} = \text{差} $

$\text{被减数}-\text{减数}=\text{差}$

2.数学结构：

2.1 上标与下标

2.1.1 基础符号

• 1、上标：使用特殊字符^；
• 2、下标：使用特殊字符_；

例如：

$ A_ij = 2^{i+j} $：$A_{i}j=2^{i+j}$

• 3.上下标可以嵌套使用，先后顺序并不影响。但如果嵌套本身需要上下标，则外层一定要分组；

例如：

$ A_i^k = B^k_i $：$A_i^k=B_i^k$
$A_{i^k} = B^{k_i} $：$A_{i^k}=B^{k_i}$

• 4.注意：数学公式中的空格（包括单个换行）并不起作用，适当空格可以起代码美观作用；

• 5.其他上标：

• 撇号： ``` ，或是\prime（其可以与下标混用，但不可以与上标混用）;

• 角度：\circ

$a_0'={b^2}' $：$a_0^{\prime }={b^2}^{\prime }$
$90^\circ $：$90^{\circ }$

2.1.2 特殊算子不同位置的上下标：

• 1、特殊操作符[算子]需要加反斜杠—\；

例如：$ max_n f(n) = sum_{i=1}^n A_i $：

$$ma{x}_{n}f(n)=su{m}_{i=1}^n{A}_i$$

对比： $ \max_n f(n) = \sum_{i=1}^n A_i $：

$$\underset{n}{\max }f(n)=\sum _{i=1}^n{A}_i$$

• 2、行内与行间的特殊操作符的显示形式不一样，因为行内需要避免过于拥挤或产生难看的行距；

$$ \max_n f(n) = sum_{i=1}^n A_i $$：

$$\underset{n}{\max }f(n)=\sum _{i=1}^n{A}_i$$

• 3、正下方（或是正上方）与正常格式的转换：\limits命令，\nolimits命令；

3.$$ \max\nolimits_n f(n) = \sum\nolimits_{i=1}^n A_i $$：$${\max }_{n}f(n)={\sum }_{i=1}^n{A}_i$$
$ \iint\limits_n f(n) = \sum\nolimits_{i=1}^n A_i $：$$\underset{n}{\iint }f(n)={\sum }_{i=1}^n{A}_i$$

• 4、元素的左上/左下标：$ {}_m^n H$，这时对齐和间距需要手工调整；(或使用mathtools宏包：\prescript{上标}{下标}{元素})；

$ {}_m^n H < L $：${}_m^{n}H<$

• 5、给任意符号的上下方添加标记：\overset，\underset

$\overset{*}{X}$：$\stackrel{\ast }{X}$

$ \underset{*}{X}$ ：$\underset{\ast }{X}$

$ \overset{*}{\underset{*}{X}} $：$\stackrel{\ast }{\underset{\ast }{X}}$

2.2 上下划线与花括号

2.2.1 上下划线

• 1、基础语法：\overline{}，\underline{}

$ \overline{a + b} = \overline{a} + \overline{b} $：$$\overline{a+b}=\overline{a}+\overline{b}$$

• 2、可以任意嵌套：

$ \overline{ \underline{a} + \overline{b}^2 } = c^{\underline n} $：$$\overline{\underline{a}+{\overline{b}}^2}=c^{\underline{n}}$$

• 3、加箭头：以上划线为例——\overleftarrow``\overrightarrow``\overleftrightarrow

$ \overleftarrow{a+b} $：$$\overleftarrow{a+b}$$
$ \overrightarrow{a+b} $：$$\overrightarrow{a+b}$$
$ \overleftrightarrow{a+b} $：$$\overleftrightarrow{a+b}$$

• 4、单个字母可以使用：\vec重音标记和宽标记，以使其位置更加准确

$ \vec x = \overrightarrow{x} $：$$\vec{x}=\overrightarrow{x}$$
$ \overrightarrow{AB} = \vec {AB} $：$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}$$

2.2.2 花括号

• 1、语法：\overbrace和\underbrace

$ \overbrace{a+b+c} = \underbrace{1+2+3} $ ：$$\overbrace{a+b+c}=\underbrace{1+2+3}$$

• 2、花括号的上下标注：

$ (\overbrace{a_0,a_1,\dots,a_n}^{\text{共 $n+1$ 项}}) $：$$(\stackrel{\text{共 n+1 项}}{\overbrace{a_0,a_1,\dots ,a_n}})$$

2.2.3 方括号——mathtools宏包提供

• 语法：\underbracket[<线宽>][<伸出高度>]{<元素>}、\overbracket[<线宽>][<伸出高度>]{<元素>}

练习：

KaTeX parse error: Can't use function '\overbrace' in text mode at position 14: a + \rlap{ \̲o̲v̲e̲r̲b̲r̲a̲c̲e̲{\phantom{b + c…

答案：$$ a + \rlap{ \overbrace{\phantom{b + c + d}}^m } b + \underbrace{c+d+e}_n+ f $$
原理：幻影—\phantom，用于把元素设置为不可见；重叠—\rlap，使元素不占用空间，致使重叠产生。
（1）没有重叠时：$$ a + \overbrace{\phantom{b + c + d}}^m b + \underbrace{c+d+e}_n+ f $$：$$a+\stackrel{m}{\overbrace{}}b+\underset{n}{\underbrace{c+d+e}}+f$$
（2）没有幻影占位时：$$ a + \rlap{\underbrace{b + c + d}_m } b + \underbrace{c+d+e}_n+ f $$：KaTeX parse error: Can't use function '\underbrace' in text mode at position 11: a + \rlap{\̲u̲n̲d̲e̲r̲b̲r̲a̲c̲e̲{b + c + d}_m }…

2.3 分式(fraction)

2.3.1 分数形式

• 1、语法：\frac<分子><分母>

（1）正文(text style)：$ \frac 12 + \frac 1a = \frac{2+a}{2a} $：$ \frac 12 + \frac 1a = \frac{2+a}{2a} $
（2）显示(display style)：$$ \frac 12 + \frac 1a = \frac{2+a}{2a} $$：$$\frac{1}{2}+\frac{1}{a}=\frac{2+a}{2a}$$

**注意：**两种方式的排版大小不同，可以使用\dfrag和\tfrac分别指定显示与正文格式的分式：

例：$$\tfrac 12 f(x) = \frac{1}{\dfrac 1a + \dfrac 1b + c}$$ $$\frac{1}{2}f(x)=\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+c}$$

• 2、连分式（continue fraction）
  语法：\cfrac[<参数>]{<元素>}，
  参数包括：l、c、r 表示左、中、右对齐
  与\frac区别：排版格式

（1）\frac方法：$$ \frac{1}{1 + \frac{2}{1+ \frac{3}{1+x}}} $$ $$\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+x}}}$$
（2）’\cfrac方法’：$$ \cfrac{1}{1 + \cfrac{2}{1+ \cfrac{3}{1+x}}} $$$$\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+x}}}$$

2.3.2 类似于分数的数学结构(分为上下两半)

1. 二项式系数

• 语法：\binom 完全类似于\frac
• 排版：\tbinom与\dbinom

例：$$ (a + b)^2 = \binom 20 a^2 + \binom 21 ab + \binom 22 b^2 $$$$(a+b{)}^2=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{0})a^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1})ab+(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2})b^2$$

2. 其他

• 语法：\genfrac{<左括号>}{<右括号>}{<线宽>}{<大小>}{<分子>}{<分母>}，
• 其中{<线宽>}{<大小>}如果为空表示默认值
• {<大小>}可以是0，1，2，3分别表示：
• \displaystyle
• \textstyle
• \scriptstyle
• \scriptscriptstyle

$$ \genfrac{[}{]}{Opt}{}{n}{1} = (n - 1)!, \qquad n>0$$：

KaTeX parse error: Invalid size: 'Opt' at position 16: \genfrac{[}{]}{O̲p̲t̲}{}{n}{1} = (n …

2.4 根式

1、基本语法：\sqrt[<可选参数—开方次数>]{}或\sqrt <元素>

$$ \sqrt 4 = \sqrt[3]{8} $$：$$\sqrt{4}=\sqrt[3]{8}$$

2、可以进行嵌套使用

$$ \sqrt[n]{\frac{x^2 + \sqrt 2}{x + y}} $$： $$\sqrt[n]{\frac{x^2+\sqrt{2}}{x+y}}$$

3、如果开方内容过长，通常改为等价的指数形式

$$(x^p + y^q)^{\frac{1}{1/p+1/q}} $$：$$(x^p+y^q{)}^{\frac{1}{1/p+1/q}}$$

4、如果对开方次数的排版不满意，可以使用\uproot{<整数>}与leftroot{<整数>}进行调整

(1)$$ \sqrt[n]{\frac{x^2 + \sqrt 2}{x + y}} $$： $$\sqrt[n]{\frac{x^2+\sqrt{2}}{x+y}}$$
(2)$$ \sqrt[\uproot{16}\leftroot{-2}n]{\frac{x^2 + \sqrt 2}{x + y}} $$：KaTeX parse error: Undefined control sequence: \uproot at position 8: \sqrt[\̲u̲p̲r̲o̲o̲t̲{16}\leftroot{-…

5、根式的高度，随内容而改变

$$ \sqrt 4 = \sqrt{\frac 12} $$：$$\sqrt{4}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

如果想要有统一高度，可以使用\vphantom占位

$$ \sqrt{\frac 12} = \sqrt{\vphantom{\frac 12}2}$$：
$$\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$$

6、数学支架：\mathstrut，表示有一个圆括号高度和深度的支架，用来平衡不同高度与深度的字母

(1)原始： $$ \sqrt b \sqrt y$$ $$\sqrt{b}\sqrt{y}$$
(2)加入支架后：$$ \sqrt{\mathstrut b} \sqrt{\mathstrut y} $$ KaTeX parse error: Undefined control sequence: \mathstrut at position 8: \sqrt{\̲m̲a̲t̲h̲s̲t̲r̲u̲t̲ ̲b} \sqrt{\maths…

2.5 矩阵(matrix)

• 分隔符：& ；
• 分行符:\\；
• 语法： \begin{matrix} <元素集> \end{matrix}

1、matrix环境：

$$ 
A = \begin{matrix} 
a_{11} & a_{12} & a_{13}  \\
0 & a_{22} & a_{23}  \\
0 & 0 & a_{33}
\end{matrix} 
$$

$$A=\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ 0& a_{22}& a_{23}\\ 0& 0& a_{33}\end{array}$$

2、小括号-pmatrix环境：\begin{pmatrix} ...... \end{pmatrix}

$$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ 0& a_{22}& a_{23}\\ 0& 0& a_{33}\end{array}\right)$$

3、中括号-bmatrix环境：\begin{bmatrix} ...... \end{bmatrix}

$$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ 0& a_{22}& a_{23}\\ 0& 0& a_{33}\end{array}\right]$$

4、大括号-Bmatrix环境：\begin{Bmatrix} ...... \end{Bmatrix}

$$A=\left\{\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ 0& a_{22}& a_{23}\\ 0& 0& a_{33}\end{array}\right\}$$

5、vmatrix环境：\begin{vmatrix} ...... \end{vmatrix}

$$
A = \begin{vmatrix} 
a_{11} & a_{12} & a_{13}  \\
0 & a_{22} & a_{23}  \\
0 & 0 & a_{33}
\end{vmatrix} 
$$

$$A=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ 0& a_{22}& a_{23}\\ 0& 0& a_{33}\end{array}\right|$$

6、Vmatrix环境：\begin{Vmatrix} ...... \end{Vmatrix}

$$ 
A = \begin{Vmatrix} 
a_{11} & a_{12} & a_{13}  \\
0 & a_{22} & a_{23}  \\
0 & 0 & a_{33}
\end{Vmatrix}
$$

\[ A = \begin{Vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \
0 & a_{22} & a_{23} \
0 & 0 & a_{33}
\end{Vmatrix} \]

7、矩阵中的省略号：\dots($\dots$)，\vdots($⋮$)，ddots($\ddots$)，\iddots(反斜)

$$ 
A = \begin{bmatrix} 
a_{11} & \dots & a_{1n}  \\
  & \ddots & \vdots  \\
 0 & \dots & a_{nn}
\end{bmatrix} 
$$

\[ A = \begin{bmatrix}
a_{11} & \dots & a_{1n} \
& \ddots & \vdots \
0 & \dots & a_{nn}
\end{bmatrix} _{n \times n} \]

8、跨多列的省略号：hdotsfor{<列数>}

$$ 
\begin{pmatrix}
1 & \frac 12 & \dots & \frac 1n \\
\hdotsfor{4} \\
m & \frac m2 & \dots & \frac mn 
\end{pmatrix}
$$

\[ \begin{pmatrix}
1 & \frac 12 & \dots & \frac 1n \
\hdotsfor{4} \
m & \frac m2 & \dots & \frac mn
\end{pmatrix}
\]

9、各矩阵之间的嵌套：

$$
\begin{pmatrix}
\begin{matrix} 1&0 \\ 0&1 \end{matrix} & 0 \\
0 & \begin{matrix} 1&0 \\ 0&1 \end{matrix}
\end{pmatrix}
$$

$$\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}& 0\\ 0& \begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\end{array}\right)$$

10、行内公式中的小矩阵：\smallmatrix

复数$z=(x,y)$，也可以用矩阵表示，代码如下：

\begin{math} 
\left(  
\begin{smallmatrix}
x &  -y \\ y & x
\end{samllmatrix}
\right) 
\end{math}

11、上下标显示多行内容：\substack{<多行元素>}

$$
\sum_{\substack{0 <i <n \\ 0 < j <i}}  A_{ij}
$$

KaTeX parse error: Undefined control sequence: \substack at position 8: \sum_{\̲s̲u̲b̲s̲t̲a̲c̲k̲{0 <i <n \\ 0 <…

12、subarray环境：参数 l(左对齐)，r(右对齐)，c(居中)

• （1）基本语法：

$$
\begin{bmatrix}
\begin{subarray}{}
i<1 \\ j<100 \\ k<1000
\end{subarray}
\end{bmatrix}
$$

KaTeX parse error: No such environment: subarray at position 24: …bmatrix} \begin{̲s̲u̲b̲a̲r̲r̲a̲y̲}̲{} i<1 \\ j<100…

• （2）用于上下标：

$$
\sum_{
\begin{subarray}{}
i<1 \\ j<100 \\ k<1000
\end{subarray}
}   	X(i, j,k)
$$

KaTeX parse error: No such environment: subarray at position 15: \sum_{ \begin{̲s̲u̲b̲a̲r̲r̲a̲y̲}̲{} i<1 \\ j<100…