Perspective Matrix的另一种推导

OpenGL投影矩阵的常见推导在OpenGL Projection Matrix中已经详细地给出了，但是作者似乎没有给出第三行的系数的由来。这里我再给出一种使用线性代数方法的推导，从中读者可以明白为第三行系数是那样选取的。

这里的推导参考了《Computer Graphics - Principle and Practice》3rd的第13章（在扩展材料中给出了详细的推导，不过需要注意的是，扩展材料中的推导是从standard view volume到canonical view volume，与OpenGL或DX中的投影矩阵稍有不同。），以及《Multi View Geometry》中p34的一个例子。

投影矩阵是一种射影矩阵（Projective Matrix），射影矩阵根据《Multi View Geometry》[1]中的定义，是一个可逆矩阵，并且在变换过程中保留共线性质，而OpenGL的投影矩阵也是一种射影矩阵，我们可以通过线性代数的方法来求得对应的投影变换。

对于P3中的射影变换对应的矩阵，总共有16个元素，由于P3中的点是齐次坐标，所以总共有15个自由度（即15个变量），所以我们只需要15个方程就能够求得对应的矩阵。这里是15个自由度而不是16的原因是，对于点p和q，我们称它们是等价的，当q=kp（k != 0）。于是对于任意射影变换M，有

也就是说M的任意倍数与M也是等价的。

我们只需要选取5个对应的点，就可以得到15个方程，因为每个R3中的点有3个分量。这里选取对应点时需要注意，需要使得他们在general position，也就是任意4个点不能是共面的，或者说，点P不能表示为其他3个点仿射组合，否则我们在求解矩阵M时不能得到唯一的解（这里的唯一解是关于某个倍数的，因为有16个未知数，而我们只有15个方程，显然对应的线性方程组系数矩阵不是满秩的，于是不能有一般意义上的唯一解，但是因为只有一个自由变量，其他基本变量都是这个自由变量的倍数，所以我们依然可以得到一个唯一的射影矩阵）。

在frustum中选取如下5个点以及变化后在cvv上的对应点（这里是R3中的点，对应的P3中的点可以通过添加分量w=1得到）：

这里n、f分别是near和far平面的距离，b为aspect ratio，a为tan(fov/2)。

假设射影矩阵为

对于P3中任意点p=(x,y,z,1)，经过M变换后的点为q’(x1,y1,z1,w1)，我们可以得到q’对应的R3中的点q = q’/w1，所以有

根据前面找到的5个对应点，我们可以得到15个形似上面的方程，最终可以求得矩阵M为（这里我使用Maple进行求解，相关的计算代码，见maple）：

这里的矩阵是$a_{32}$的倍数，我们需要选取$a_{32}=-1$得到与OpenGL中一致的结果。如果选取$a_{32}=1$，会造成错误的裁剪（比如一个三角面，三个顶点的$w$都小于0，此时就不会显示），因为OpenGL裁剪时要求

$$\begin{gathered} -w\le x\le w \\ -w\le y\le w \\ -w\le z\le w \end{gathered}$$

选取$a_{32}=1$会使得$w<0$，导致无法满足上述不等式，虽然我们知道相差一个符号的两个齐次坐标代表的是同一个点。一个点在变换后$w$会小于0的例子是进行平面投影（用于Projection Shadow）且投影矩阵射影矩阵的形式。

这种方法的好处在于，我们可以方便地推导出斜透视矩阵等其他非标准的透视矩阵。

[1] 本书中对于齐次坐标，射影空间等概念的描述比较简单，推荐阅读。