77、临近无感知测试与不变性的作用

临近无感知测试与不变性的作用

1. 通用框架

为了简化，我们考虑定义在有限域 $D$ 上且具有有限值域 $R$ 的有限函数的性质。渐近处理则需要考虑此类性质的无限序列，即形如 $(P_n)_{n\in N}$ 的序列，其中 $P_n$ 是从 $D_n$ 到 $R_n$ 的函数集合。

• 约束的定义 ：一个约束是由域元素和应用于相应值的布尔谓词组成的对。若将谓词应用于指定位置的函数值得到布尔值 1（表示真），则函数 $f$ 满足该约束。
  • 定义 2.1（约束） ：约束是一个对 $((e_1, …, e_c), φ)$，其中 $e_1, …, e_c$ 是 $D$ 中的不同元素，$φ : R^c → {0, 1}$ 是任意谓词。我们称其为 $c$ - 约束。函数 $f : D → R$ 满足该约束当且仅当 $φ(f(e_1), …, f(e_c)) = 1$。
• 约束集的特征化 ：函数的性质 $P$ 由一组约束来表征，当且仅当 $f$ 属于 $P$ 当且仅当 $f$ 满足该集合中的所有约束。
  • 定义 2.2（约束特征化） ：设 $C$ 是一组约束，$P$ 是一个性质。若对于每个 $f : D → R$，都有 $f ∈ P$ 当且仅当 $f$ 满足 $C$ 中的每个约束，则称 $P$ 由 $C$ 特征化。
• 生成约束集 ：考虑由固定约束集、$D$ 上的置换群和 $R$ 上的置换群组合生成的约束集。
  • 定义 2.3（生成约束） ：设 $C$ 是有限的 $c$ - 约束集，$M$ 是由 $D$ 上的置换和 $R$ 上的置换组成的对的集合。由 $C$ 和 $M$ 生成的约束集，记为 $CONS(C, M)$，定义为：
    [CONS(C, M) \stackrel{\text{def}}{=} {((π(e_1), …, π(e_c)), φ ◦ μ^{-1}) : ((e_1, …, e_c), φ) ∈ C, (π, μ) ∈ M}]
    其中 $φ ◦ μ^{-1}(v_1, …, v_c)$ 表示 $φ(μ^{-1}(v_1), …, μ^{-1}(v_c))$。

下面通过一个表格总结上述概念：
|概念|定义|
|----|----|
|约束|对 $((e_1, …, e_c), φ)$，$e_i\in D$ 不同，$φ : R^c → {0, 1}$，$f$ 满足条件 $φ(f(e_1), …, f(e_c)) = 1$|
|约束特征化|性质 $P$ 由约束集 $C$ 特征化，$f\in P$ 当且仅当 $f$ 满足 $C$ 中每个约束|
|生成约束|$CONS(C, M) = {((π(e_1), …, π(e_c)), φ ◦ μ^{-1}) : ((e_1, …, e_c), φ) ∈ C, (π, μ) ∈ M}$|

2. 不变性条件

我们考虑由 $D$ 上的置换 $π$ 和 $R$ 上的置换 $μ$ 组成的对的群，群运算对应于置换的逐分量合成。
- 定义 2.4（不变性条件） ：性质 $P$ 满足不变性条件，如果存在一个常数 $c$，一个有限的 $c$ - 约束集 $C$，以及一个 $D × R$ 上的置换对群 $M$，使得 $P$ 由 $CONS(C, M)$ 特征化。此时，我们称 $P$ 相对于 $M$ 满足不变性条件。
- 不变性条件与覆盖域 ：我们将讨论限制在域中仅包含对性质 $P$ 有影响的元素的情况。若性质 $P$ 相对于 $M$ 满足不变性条件，则 $M$ 在 $D$ 的一个常数分数上诱导出一个传递置换群。
- 主要问题 ：我们关注满足不变性条件与具有常数查询复杂度的临近无感知测试器之间的关系。一个自然的猜想（不变性猜想）是，一个性质满足不变性条件当且仅当它有一个临近无感知测试器。

下面是一个 mermaid 流程图，展示不变性条件相关关系：

graph LR
    A[性质 P] -->|满足| B[不变性条件]
    B -->|诱导| C[传递置换群]
    A -->|是否有| D[临近无感知测试器]
    B <-->|猜想关系| D

3. 性质测试模型

自然的性质测试模型可以通过指定函数的定义域和值域（即 $D$ 和 $R$）以及模型中性质的闭包特征来定义。
- 定义 2.5（闭包特征） ：设 $M$ 如定义 2.4 所述。若对于每个 $(π, μ) ∈ M$，都有 $f ∈ P$ 当且仅当 $μ ◦ f ◦ π^{-1} ∈ P$，则称性质 $P$ 在 $M$ 下是封闭的。
- 定义 2.6（基于闭包的性质测试模型） ：$M$ 模型由所有在 $M$ 下封闭的性质组成。
- 命题 2.7 ：若 $P$ 相对于 $M$ 满足不变性条件，则 $P$ 在 $M$ 下是封闭的。

例如，邻接矩阵表示中的图性质测试模型，$D = \binom{[N]}{2}$，$R = {0, 1}$，通过顶点重标记定义 $D$ 上的置换群。

4. 稠密图模型中不变性猜想成立

在邻接矩阵表示模型（即稠密图模型）中，我们证明了不变性猜想成立。
- 一个 $N$ 顶点的图由对称布尔函数 $g : [N] × [N] → {0, 1}$ 表示，$g(u, v) = 1$ 当且仅当 $u$ 和 $v$ 相邻。
- 依赖最近的结果，在该模型中，$P$ 有临近无感知测试器当且仅当它是子图自由性质。
- 子图自由性质等价于相对于规范集满足不变性条件，规范集形式为 $M = M’ × {id}$，其中 $M’$ 是由顶点重标记诱导的顶点对置换群。
- 定理 3.1 ：设 $P$ 是定义在 $[N]$ 上无序对集合上的布尔函数集，且 $P$ 在基集重标记下封闭。则 $P$ 有临近无感知测试器当且仅当 $P$ 满足不变性条件。此外，若 $P$ 满足不变性条件，则它相对于规范集满足该条件。

下面通过表格总结稠密图模型相关内容：
|模型|表示|性质|测试器条件|
|----|----|----|----|
|稠密图模型|$g : [N] × [N] → {0, 1}$|子图自由性质|有临近无感知测试器当且仅当满足不变性条件|

5. 有界度图模型中的不变性猜想

在有界度图模型中，我们对其表示进行了修改，将 $N$ 顶点图表示为从 $[N]$ 到 $[N]$ 子集的函数。
- 定理 4.1 ：设 $P$ 是从 $[N]$ 到 ${S ⊂ [N] : |S| ≤ d}$ 的函数集，对应于无向图性质，且 $P$ 在规范集 $M_0$ 下封闭。
- 若 $P$ 有临近无感知测试器，则它满足不变性条件。
- 若 $P$ 满足不变性条件，则它相对于规范集满足该条件，且 $P$ 是广义子图自由性质。

然而，目前尚不清楚每个广义子图自由性质是否是非传播的。

下面是一个 mermaid 流程图，展示有界度图模型相关关系：

graph LR
    A[性质 P] -->|有| B[临近无感知测试器]
    B -->|推出| C[满足不变性条件]
    C -->|推出| D[相对于规范集满足条件]
    D -->|推出| E[广义子图自由性质]

临近无感知测试与不变性的作用

6. 不变性猜想在某些情况下不成立

我们将证明，一般来说，不变性条件对于临近无感知测试器（POT）的存在既不是必要条件也不是充分条件。

6.1 不变性条件对于 POT 不是必要条件

我们给出两个例子，说明满足不变性条件对于拥有临近无感知测试器并非必要。这两个例子都基于具有（临近无感知）码字测试的稀疏线性码（即这些码是局部可测试的）。

• 定理 5.1 ：存在一个布尔函数的性质 $P$，它有临近无感知测试器，但不满足不变性条件。此外，$P$ 是一个线性性质，即如果 $f_1, f_2 \in P$，那么 $f_1 + f_2 \in P$，其中 $(f_1 + f_2)(x) = f_1(x) \oplus f_2(x)$ 对于每个 $x$ 都成立。

  • 证明思路：考虑一个维度为 $\ell = O(\log n)$ 的随机线性性质。对于均匀选择的函数 $g_1, …, g_{\ell} : [n] \to {0, 1}$，我们考虑性质 $P_n = {\sum_{i\in I} g_i : I \subseteq [\ell]}$。已有研究表明，在这些随机选择下，高概率性质 $P$ 有临近无感知测试器。同时，高概率该性质不满足不变性条件。

• 长码测试（即独裁测试） ：我们考虑性质 $P = (P_n)$，其中对于 $n = 2^{\ell}$，函数 $f : {0, 1}^{\ell} \to {0, 1}$ 属于 $P_n$ 当且仅当存在 $i \in [\ell]$ 使得 $f(\sigma_1 \cdots \sigma_{\ell}) = \sigma_i$。这样的函数 $f$ 是一个独裁函数（由第 $i$ 位决定），可以看作是长码中的第 $i$ 个码字。

  • 定理 5.2 ：独裁性质违反了不变性条件，尽管它有临近无感知测试器。
  • 证明思路：该性质仅在特定的对 $(\pi, id)$ 或 $(\pi, flip)$ 下是封闭的，除此之外不满足不变性条件。

下面通过表格总结这两个例子：
|例子|性质描述|是否有 POT|是否满足不变性条件|
|----|----|----|----|
|随机线性性质|$P_n = {\sum_{i\in I} g_i : I \subseteq [\ell]}$|是|否|
|独裁性质|$f(\sigma_1 \cdots \sigma_{\ell}) = \sigma_i$|是|否|

6.2 不变性条件对于 POT 不是充分条件

我们将证明不变性条件不足以保证存在临近无感知测试器。

• 定理 5.3 ：存在一个布尔函数的性质 $P$，它满足不变性条件，但没有临近无感知测试器。此外，不变性条件相对于一个涉及四个域元素的单个约束和一个 1 - 传递的域置换群成立。而且，$P$ 不能在仅依赖于临近参数的查询复杂度内进行测试。
  • 证明思路：考虑固定（且高度规则）有界度图的欧拉定向集合，并依赖相关研究结果。

下面是一个 mermaid 流程图，展示不变性条件与 POT 存在性的关系：

graph LR
    A[满足不变性条件] -->|不必然推出| B[有临近无感知测试器]
    C[有临近无感知测试器] -->|不必然推出| A

7. 总结

通过对不同模型（稠密图模型、有界度图模型）的研究，我们发现不变性猜想在稠密图模型中成立，但在有界度图模型中只能得到部分结果，且存在一些情况使得不变性条件对于临近无感知测试器的存在既不是必要条件也不是充分条件。具体内容总结如下：
|模型/情况|不变性猜想结果|
|----|----|
|稠密图模型|成立|
|有界度图模型|部分成立，不清楚广义子图自由性质是否都非传播|
|某些情况|不变性条件对 POT 既非必要也非充分|

未来的研究可以进一步探索有界度图模型中广义子图自由性质的非传播性问题，以及寻找更广泛适用的性质测试模型和方法，以更好地理解不变性条件与临近无感知测试器之间的关系。