72、图算法与性质测试：从分区到自然化-优快云博客

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图算法与性质测试：从分区到自然化

在图论和算法领域，图的分区和性质测试是重要的研究方向。本文将介绍图的孤立邻域查找、分区算法以及自然图性质测试等相关内容。

孤立邻域查找算法

首先，我们来了解一下孤立邻域查找算法，即 Find-Neighborhood 算法。该算法用于在图中找到特定顶点的孤立邻域。

Algorithm 1. Procedure Find-Neighborhood(v,k,δ,c)
Run BFS from v until it stops or exactly k vertices are visited
1
Let S be the set of vertices reached by the BFS
2
if S is a (k, δ, c)-isolated neighborhood in the original graph then
3
return S
4
if c > 0 then
5
foreach w ∈S \ {v} do
6
Remove w from the graph
7
S′ := Find-Neighborhood(v,k,δ,c −1)
8
Insert w back into the graph
9
if S′ ̸= {v} then return S′
10
else
11
return {v}
12

该算法的步骤如下：
1. 从顶点 v 开始进行广度优先搜索（BFS），直到搜索停止或恰好访问了 k 个顶点。
2. 将 BFS 到达的顶点集合记为 S 。
3. 如果 S 是原始图中的 (k, δ, c) 孤立邻域，则返回 S 。
4. 如果 c > 0 ，则对 S 中除 v 以外的每个顶点 w 进行以下操作：
- 从图中移除 w 。
- 递归调用 Find-Neighborhood(v,k,δ,c - 1) 得到 S′ 。
- 将 w 重新插入图中。
- 如果 S′ 不等于 {v} ，则返回 S′ 。
5. 如果以上条件都不满足，则返回 {v} 。

此外，还有一个重要的引理：对于最大度有界为 d 的图 G = (V, E) ，给定顶点 v ∈ V 、整数 k, c ≥ 1 和 δ ∈ (0, 1) ，存在一个算法可以在 poly(cdk) · k2c 时间内并通过 O(dk2(c + 1)) 次查询找到所有覆盖 v 的顶点。

孤立邻域的小覆盖

接下来，我们讨论孤立邻域的小覆盖问题。对于顶点的孤立邻域族 A ，其覆盖 B 是 A 的一个子集，满足 ∪T∈A T = ∪T∈B T 。

引理表明，对于图 G = (V, E) 中顶点 v 的孤立邻域族 A ，若所有邻域的割边大小有界为整数 c ，则存在大小至多为 (c + 1)! 的覆盖 B ⊆ A 。证明过程采用归纳法：
- 当 c = 0 时， v 的任何孤立邻域都是包含 v 的连通分量，此时 A 由一个集合组成， (c + 1)! = 1 ，引理成立。
- 对于归纳步骤，假设 c > 0 且引理对于割边大小界小于 c 的情况成立。通过一系列构造和推理，可以证明存在满足条件的覆盖 B 。

由此还得到一个推论：对于图中的顶点 v ，整数 k, c ≥ 1 和 δ ∈ (0, 1) ，满足 u ∈ Find-Neighborhood(u, k, δ, c) 的顶点 u 的数量至多为 k · (c + 1)! 。

图的分区算法

我们介绍两种分区算法：全局分区算法和局部分区算法。

全局分区算法 Global-Partitioning 的步骤如下：

Algorithm 2. Global-Partitioning(k,δ,h)
forall v ∈V do set v as not marked
1
foreach v ∈V do
2
Sv := Find-Neighborhood(v,k,δ,2(h + 1))
3
rv := uniformly random value in (0, 1)
4
foreach v ∈V in increasing order of rv do
5
U := {w ∈Sv : w is not marked}
6
forall w ∈U do f[w] := U
7
Mark all vertices in U
8
Output f
9

将图中所有顶点标记为未标记。
对于每个顶点 v ：
- 调用 Find-Neighborhood(v,k,δ,2(h + 1)) 找到其孤立邻域 Sv 。
- 为 v 生成一个在 (0, 1) 范围内的均匀随机值 rv 。
按照 rv 的升序遍历顶点：
- 对于每个顶点 v ，找到 Sv 中未标记的顶点集合 U 。
- 将 U 中的每个顶点 w 的分区标记为 U 。
- 标记 U 中的所有顶点。
输出分区函数 f 。

局部分区算法 Local-Partitioning 用于计算单个顶点 q 的分区：

Algorithm 3. Local-Partitioning(q,k,δ,h) for a vertex q
Qq := the set of vertices that cover q (see Lemma 3)
1
Let u be the vertex in Qq with the lowest ru
2
Su := Find-Neighborhood(u,k,δ,2(h + 1))
3
P := ∅
4
foreach w ∈Su do
5
Qw := the set of vertices that cover w (see Lemma 3)
6
Let uw be the vertex in Qw with the lowest ruw
7
if u = uw then P := P ∪{w}
8
return P
9

找到覆盖 q 的顶点集合 Qq 。
在 Qq 中找到 ru 最小的顶点 u 。
调用 Find-Neighborhood(u,k,δ,2(h + 1)) 找到 u 的孤立邻域 Su 。
初始化分区集合 P 为空。
对于 Su 中的每个顶点 w ：
- 找到覆盖 w 的顶点集合 Qw 。
- 在 Qw 中找到 ruw 最小的顶点 uw 。
- 如果 u = uw ，则将 w 加入 P 。
返回分区集合 P 。

通过这些算法，可以对图进行有效的分区，并且可以证明分区的一些性质，如分区中不同部分之间的边数的概率上界等。

图性质测试的自然化

在图性质测试领域，自然图性质测试是一个重要的概念。自然图性质测试独立于被测试图的大小进行操作。

我们引入了图性质的可膨胀性概念，即图性质在（平衡）膨胀操作下是封闭的。研究表明，对于几乎遗传且几乎可膨胀的图性质，任何测试都可以被自然化，并且查询次数会有多项式增加。

自然化可以看作是一种扩展的规范化，使得自然规范测试可以被描述为强规范测试。通过自然化技术，我们部分恢复了关于测试遗传性质的一个命题，即可以通过确保一个小的随机子图本身满足性质来进行测试。

这一技术在测试三角形自由性（或一般的诱导子图自由性）的查询复杂度下界方面有重要应用。对于三角形自由性测试，目前上界和下界之间存在巨大差距。通过自然化技术，可以证明三角形自由性测试的查询复杂度完全由单边错误查询复杂度决定。

下面是一个简单的 mermaid 流程图，展示 Find-Neighborhood 算法的主要流程：

graph TD;
    A[开始] --> B[从 v 进行 BFS 到 k 个顶点或停止];
    B --> C{判断 S 是否为 (k, δ, c)-孤立邻域};
    C -- 是 --> D[返回 S];
    C -- 否 --> E{判断 c > 0};
    E -- 是 --> F[对 S 中除 v 外的 w 操作];
    F --> G[移除 w];
    G --> H[递归调用 Find-Neighborhood];
    H --> I[插入 w];
    I --> J{判断 S′ 是否不等于 {v}};
    J -- 是 --> D;
    J -- 否 --> K[返回 {v}];
    E -- 否 --> K;

综上所述，这些图算法和性质测试技术在图的分析和处理中具有重要的应用价值，能够帮助我们更好地理解和操作图结构。

图算法与性质测试：从分区到自然化

自然化技术的原理与应用

自然化技术的核心在于将非自然的图性质测试转化为自然测试，且查询次数仅会有多项式增加。这一转化的关键在于图性质的遗传性和可膨胀性。

遗传性意味着随着图的规模增大，禁止子图的集合会不断增加，从而使得可接受的查询子图集合逐渐缩小。而可膨胀性则是指图性质在（平衡）膨胀操作下保持不变，这避免了因添加一个顶点而导致图从满足性质变为远离该性质的情况。

对于几乎遗传且几乎可膨胀的图性质，自然化的具体步骤如下：
1. 分析性质特征 ：确定图性质是否满足几乎遗传和几乎可膨胀的条件。
2. 调整测试策略 ：根据性质的特征，对原有的测试策略进行调整，使其独立于图的大小。
3. 增加查询次数 ：在调整测试策略的过程中，查询次数会有多项式的增加，但仍能保证测试的有效性。

自然化技术在测试三角形自由性（或一般的诱导子图自由性）的查询复杂度下界方面有重要应用。具体操作步骤如下：
1. 确定单边错误查询复杂度下界 ：通过现有的方法，如构造难以区分的图分布，确定三角形自由性测试的单边错误查询复杂度下界。
2. 应用自然化技术 ：将自然化技术应用于三角形自由性测试，使得任何测试都可以转化为单边测试。
3. 得出双边错误查询复杂度下界 ：由于单边错误查询复杂度下界可以转化为双边错误查询复杂度下界，从而证明三角形自由性测试的查询复杂度完全由单边错误查询复杂度决定。

自然化技术与其他图性质测试特征的关系

自然化技术与图性质测试的其他特征，如单边性、遗传性和接近遗忘性等，存在着密切的关系。

单边性是指测试在面对满足性质的图时，永远不会拒绝。对于具有单边性的测试，自然化技术可以将其转化为自然单边测试，从而在不损失单边性的前提下，实现测试的自然化。

遗传性和可膨胀性是自然化技术的基础。只有当图性质几乎遗传且几乎可膨胀时，才能进行有效的自然化。同时，自然化后的测试也会进一步体现出这些性质的特征。

接近遗忘性是指测试在判断图是否满足性质时，不依赖于图与性质的具体接近程度。自然化技术可以在一定程度上提高测试的接近遗忘性，使得测试更加高效和稳定。

图性质测试的未来展望

图性质测试作为图论和算法领域的重要研究方向，未来有着广阔的发展前景。

在算法优化方面，随着计算能力的不断提升和算法设计的不断创新，我们可以期待更加高效的图性质测试算法的出现。这些算法可能会结合机器学习、深度学习等技术，进一步提高测试的准确性和效率。

在应用领域方面，图性质测试可以应用于社交网络分析、生物信息学、计算机视觉等多个领域。例如，在社交网络分析中，可以通过测试图的连通性、聚类系数等性质，来分析社交网络的结构和行为。

在理论研究方面，我们可以进一步深入研究图性质的遗传性、可膨胀性等特征，以及它们与图性质测试的关系。这将有助于我们更好地理解图的本质结构，为图性质测试提供更加坚实的理论基础。

下面是一个 mermaid 流程图，展示图性质测试的未来发展方向：

graph LR;
    A[图性质测试] --> B[算法优化];
    A --> C[应用领域拓展];
    A --> D[理论研究深入];
    B --> E[结合机器学习];
    B --> F[提高准确性和效率];
    C --> G[社交网络分析];
    C --> H[生物信息学];
    C --> I[计算机视觉];
    D --> J[研究图性质特征];
    D --> K[完善理论基础];

综上所述，图算法和性质测试技术在图的分析和处理中具有重要的应用价值。通过自然化技术，我们可以将图性质测试更加高效和稳定地应用于实际问题中。未来，随着算法优化、应用领域拓展和理论研究深入，图性质测试将在更多领域发挥重要作用。