69、稠密局部可测试码与高效概率可检查辩论相关研究

稠密局部可测试码与高效概率可检查辩论相关研究

1. 稠密局部可测试码相关内容

在稠密局部可测试码（LTC）的研究中，有诸多重要发现。
- 随机变量相关性与方差计算 ：随机变量 (I_u) 和 (I_{u’}) 当 (u) 和 (u’) 有共同邻居时相关。由于 (U \subset V^ )，具有共同邻居意味着 (u) 和 (u’) 在同一重数类中，且该重数类大小至多为 (\beta d^{1/2})。可根据重数类对 (U) 中的顶点进行划分，使得来自不同重数类的 (I_u) 和 (I_{u’}) 完全独立。通过一系列推导可得：
[
\begin{align }
Var[I]&= E[I^2] - (E[I])^2 \
&= E\left[\sum_{u,u’} I_u I_{u’}\right] - \sum_{u,u’} E[I_u] E[I_{u’}] \
&= \sum_{u \sim u’} E[I_u I_{u’}] + \sum_{u \not\sim u’} E[I_u] E[I_{u’}] - \sum_{u,u’} E[I_u] E[I_{u’}] \
&\leq \sum_{i} \sum_{u \sim u_i} \sum_{u’ \sim u_i} E[I_u I_{u’}] \
&\leq \sum_{i} \sum_{u \sim u_i} \sum_{u’ \sim u_i} E[I_u] \cdot 1 \
&\leq \sum_{i} \sum_{u \sim u_i} E[I_u] \cdot d_i \
&\leq \sum_{i} \sum_{u \sim u_i} \frac{\text{deg}(u)}{d^{1/2}} \cdot \beta d^{1/2} \
&= \beta \sum_{u} \text{deg}(u) = 2\beta |E_v|
\end{align }
]
根据切比雪夫不等式 (Pr[|I - E[I]| \geq a] \leq Var[I]/a^2)，取 (a = E[I]/2)，可得 (Pr\left[|I - E[I]| \geq \frac{E[I]}{2}\right] \leq \frac{Var[I]}{(E[I]/2)^2} \leq 8\beta d / |E_v| \leq 8\beta / \alpha)。通过选择 (\beta = \alpha / 16)，此概率至多为一半，即 (I \geq E[I]/2 \geq \alpha d^{1/2}/2) 的概率至少为一半。当 (I \geq \beta d^{1/2}) 时，(v) 会在下一步清理步骤中进入 (B_t)。
- 引理 3 的证明 *：要证明若算法在第 (t) 步前未停止且 (|A_{t - 1}| < \frac{\delta}{2}n)，则 (|B_t| > (1 - \delta)n)。假设 (|B_t| \leq (1 - \delta)n) 且 (|A_{t - 1}| < \frac{\delta}{2}n)，那么 (Z = V \setminus (A_{t - 1} \cup B_t)) 包含超过 (\frac{\delta}{2}n) 个顶点，且每个 (v \in Z) 有 (|E_v| < \alpha d)。若算法未停止，存在两个不同码字 (x) 和 (y) 在 (B_t) 上一致。设 (U_{x \neq y} = {u \in V | x_u \neq y_u})，其大小至少为 (\delta n) 且与 (B_t) 不相交，所以 (Z \cap U_{x \neq y}) 至少有 (\frac{\delta}{2}n) 个顶点。对于 (u \in Z \cap U_{x \neq y}) 且 (u’) 与 (u) 在 (G) 中相邻，有 (u \in Z) 则 (u’ \in Z)，且 (u \in U_{x \neq y}) 则 (u’ \in U_{x \neq y})。可找到一个集合 (D \subset Z \cap U_{x \neq y})，其大小 (s) 满足 (\frac{\delta}{3}n \leq \frac{\delta}{2}n - \beta d^{1/2} \leq s \leq \frac{\delta}{2}n)，且 (D) 是连通分量的并集。定义混合字 (w = x_D y_{V \setminus D})，有 (dist(w, C) = dist(w, y) = \frac{|D|}{n} \geq \frac{\delta}{3})。因为 (C) 是 LTC，(dist(w, C) \geq \frac{\delta}{3}) 意味着 (Pr_{h \sim E(H)}[h \text{ rejects } w] \geq \epsilon)。拒绝 (w) 的超边必须与 (D) 相交且不能与 (B_t) 有特定数量的交点，从而得出存在 (v \in D) 接触至少 (\alpha d) 个拒绝超边，这与 (D \subset Z) 且 (|E_v| < \alpha d) 矛盾。

2. 可能的改进方向

• 速率与密度的权衡 ：若能改进 (\rho < 1/d^{1/2}) 的界限，例如达到 (\rho < 1/d^{0.501})，就能排除非加权测试器的 (c_3) - LTC。假设对于 (q \geq 3) 和 (\epsilon, \delta > 0)，若任意 (q) - 查询 LTC 族 ({C_n}) 满足速率 (\leq \rho)、距离 (\delta > 0) 且测试器密度至少为 (d) 时，有 (\rho \leq 1/d^{\frac{1}{q - 1} + \epsilon})，则不存在具有恒定速率、距离 (\delta > 0) 且非加权测试器的 (q) - 查询 LTC 族。
• (q > 3) 时密度必须高 ：设 (C) 是 (q) - 查询 LTC，速率为 (\rho)，密度为 (d)，则对于任意 (q’ > 0)，存在 ((q + q’)) - 查询 LTC (C’)，其密度为 (d \cdot \binom{n}{q’})，速率为 (\rho/2)，距离为 (\delta/2)。若存在 3 - 查询 LTC 具有恒定速率和密度，则存在 (q > 3) - 查询 LTC 具有恒定速率和密度 (\Omega(n^{q - 3}))。
• 允许加权超图测试 ：考虑带权重的超图测试时，密度不应简单定义为边数与顶点数之比。若按原方式定义密度，每个 LTC 可修改为具有最大密度测试器的 LTC。设 (C) 是 (q \geq 3) 的 (q) - 查询 LTC，速率为 (\rho)，距离为 (\delta)，任意密度，存在另一个 (q) - 查询 LTC (C’)，其加权测试器具有最大密度 (\Omega(n^{q - 1}))，速率为 (\rho/2)，距离为 (\delta/2)。

下面用 mermaid 绘制一个流程图展示上述部分内容的逻辑关系：

graph TD;
    A[随机变量相关性分析] --> B[方差计算];
    B --> C[切比雪夫不等式应用];
    C --> D[概率判断];
    E[引理 3假设] --> F[寻找矛盾点];
    F --> G[得出结论];
    H[速率与密度权衡假设] --> I[推导矛盾];
    J[q>3时LTC构造] --> K[得出新LTC性质];
    L[加权超图测试] --> M[修改LTC性质];

3. 高效概率可检查辩论相关内容

• 辩论系统 ：辩论系统是两个计算能力无界的辩论者在计算能力有界的验证者监督下的交互。在语言 (L) 的辩论系统中，输入 (x \in {0, 1}^n)，第一个辩论者（玩家 1）试图说服验证者 (x \in L)，第二个辩论者（玩家 0）试图说服验证者 (x \notin L)。辩论者提供字符串序列 (y = (y_1, \ldots, y_{k(n)}))，验证者应用确定性谓词 (V(x, y)) 确定输出 (b \in {0, 1})。若玩家 1 能在 (x \in L) 时迫使 (b = 1)，则称 (V) 定义了 (L) 的辩论系统。若 (|y| \leq poly(n)) 且 (V) 是多项式时间算法，则称 (V) 定义了 (L) 的多项式时间辩论系统。辩论轮数 (k = k(n)) 是重要参数，若 (k) 为常数，(L) 有 (k) 轮多项式时间辩论系统当且仅当 (L) 位于多项式层次结构的第 (k) 层；当 (k) 随输入长度多项式增长时，多项式时间辩论系统刻画了 PSPACE。
• 概率可检查辩论 ：概率可检查辩论系统（PCDS）是对辩论系统的一种限制形式。一个随机化多项式时间算法 (V(x, y)) 是语言 (L) 的 ([r(n), q(n)]) - 受限概率可检查证明系统需满足：
  • 对于所有 (x \in L)，存在 (y) 使得 (Pr[V(x, y) \text{ accepts}] = 1)；
  • 对于所有 (x \notin L) 和所有 (y)，(Pr[V(x, y) \text{ accepts}] < 1 - \Omega(1))；
  • (V) 使用 (r(n)) 位随机数且非自适应地查询至多 (q(n)) 位 (y)。
    著名的 PCP 定理表明可对任意 (L \in NP) 提供 ([O(\log n), O(1)]) - 受限概率可检查证明系统。对于更一般的辩论类，定义 (V(x, y)) 为多项式时间验证者，若满足：
  • 对于所有 (x \in L)，存在玩家 1 策略使 (Pr[V(x, y_1, \ldots, y_k) \text{ accepts}] = 1)；
  • 对于所有 (x \notin L)，存在玩家 0 策略使 (Pr[V(x, y_1, \ldots, y_k) \text{ accepts}] < 1 - \Omega(1))；
  • (V) 使用 (r(n)) 位随机数且非自适应地查询至多 (q(n)) 位 (y)，则称 (V) 是语言 (L) 的 ([r(n), q(n)]) - 受限概率可检查辩论系统。研究发现，即使限制 (q(n) = O(1))，PCDS 本质上和任意多项式时间辩论系统一样强大，例如每个 (L \in PSPACE) 都有 ([O(\log n), O(1)]) - 受限 PCDS。

下面用表格总结概率可检查证明系统和概率可检查辩论系统的条件：
|系统类型|条件 1|条件 2|条件 3|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|概率可检查证明系统|对于所有 (x \in L)，存在 (y) 使得 (Pr[V(x, y) \text{ accepts}] = 1)|对于所有 (x \notin L) 和所有 (y)，(Pr[V(x, y) \text{ accepts}] < 1 - \Omega(1))|(V) 使用 (r(n)) 位随机数且非自适应地查询至多 (q(n)) 位 (y)|
|概率可检查辩论系统|对于所有 (x \in L)，存在玩家 1 策略使 (Pr[V(x, y_1, \ldots, y_k) \text{ accepts}] = 1)|对于所有 (x \notin L)，存在玩家 0 策略使 (Pr[V(x, y_1, \ldots, y_k) \text{ accepts}] < 1 - \Omega(1))|(V) 使用 (r(n)) 位随机数且非自适应地查询至多 (q(n)) 位 (y)|

4. 高效概率可检查辩论的改进构造

给出了一种改进的概率可检查辩论（PCDS）构造方法，使得对于任何具有由大小为 (s = s(n)) 的均匀电路定义的普通辩论系统的语言 (L)，都能得到一个总比特长度为 (\tilde{O}(s)) 的 PCDS，且验证者仅使用 (\log_2 s + \log_2(\text{polylog}(s))) 位随机数。这一改进建立了自然 PSPACE 完全问题的时间复杂度与其近似版本时间复杂度之间更紧密的联系。
- 关键技术 ：关键在于对 Schulman 所开发的抗错误通信协议的新颖应用，具体使用了 Braverman 和 Rao 提出的协议。通过要求普通辩论以抗错误的方式进行编码，赋予辩论一种有用的“稳定性”属性。稳定的辩论可以通过应用 Dinur 给出的高效概率可检查证明（PCPP）转换为 PCDS。
- 主要挑战及解决方法 ：构建稳定辩论的主要技术挑战是强制辩论者采用抗错误编码。为此，证明了存在一个常数轮辩论系统，其验证者效率极高，可用于辩论通信记录是否遵循 Braverman - Rao 协议。

下面用 mermaid 绘制一个流程图展示改进构造的流程：

graph TD;
    A[普通辩论系统] --> B[抗错误编码];
    B --> C[形成稳定辩论];
    C --> D[应用PCPP];
    D --> E[得到高效PCDS];

5. 总结与展望

• 稠密局部可测试码总结 ：在稠密局部可测试码的研究中，通过对随机变量相关性和方差的计算，得出了关于码字进入特定集合的概率结论。引理 3 的证明为算法的停止条件提供了理论依据。在可能的改进方向上，探讨了速率与密度的权衡、(q > 3) 时密度的要求以及加权超图测试对 LTC 的影响。这些研究成果有助于深入理解稠密局部可测试码的性质和局限性。
• 高效概率可检查辩论总结 ：辩论系统和概率可检查辩论系统为研究语言的复杂性提供了重要工具。改进的 PCDS 构造方法通过引入抗错误通信协议和稳定辩论的概念，提高了辩论的效率和验证的准确性。这一成果加强了自然 PSPACE 完全问题与其近似版本之间的联系，为相关问题的研究提供了新的思路。
• 未来展望 ：未来的研究可以进一步探索稠密局部可测试码在不同应用场景下的性能优化，以及如何更精确地界定速率与密度之间的关系。在高效概率可检查辩论方面，可以研究如何进一步降低验证者的随机数使用量，以及如何将这种构造方法应用到更多的复杂性类中。此外，还可以探索抗错误通信协议在其他领域的应用潜力，以拓展相关技术的应用范围。

下面用表格总结稠密局部可测试码和高效概率可检查辩论的研究成果：
|研究领域|主要成果|
| ---- | ---- |
|稠密局部可测试码|计算随机变量方差得出码字进入集合概率；证明引理 3 为算法停止提供依据；探讨速率与密度权衡、高 (q) 时密度要求和加权超图测试影响|
|高效概率可检查辩论|提出改进的 PCDS 构造方法；引入抗错误通信协议和稳定辩论概念；加强 PSPACE 完全问题与其近似版本联系|