55、局部可测试仿射不变性质的和与局部可测试仿射不变码的速率限制

局部可测试仿射不变性质的和与局部可测试仿射不变码的速率限制

1. 局部可测试仿射不变性质的和

在给定一些操作后，我们可以使用“公式”来组合有限个基本的单轨道特征族，这些公式的操作包括求和、交集和提升。下面我们来详细定义这个概念。

1.1 公式的定义

• 一个大小为 $s$、度数为 $d$、稀疏度为 $t$ 的公式 $\Phi$，它产生一个族 $F \subseteq {K \to F_q}$，记为 $(s, d, t, K, F)$ - 公式，其归纳定义如下：
  1. 大小为 1 的公式 $\Phi$，由 $F \subseteq {K \to F_q}$ 给出，其中 $F$ 要么是阶为 $d$ 的 Reed - Muller 族，要么是 $t$ - 稀疏族。
  2. 大小为 $s$ 的公式可以通过以下操作之一获得：
     • 选择 $L$ 使得 $F_q \subseteq L \subseteq K$，并令 $\Phi = \text{lift}_{L \to K}(\Phi_1)$，其中 $\Phi_1$ 是一个 $(s - 1, t, d, L, F)$ 公式。
     • 选择 $s_1$ 和 $s_2$ 使得 $s_1 + s_2 + 1 = s$，并令 $\Phi = \Phi_1 \cap \Phi_2$，其中 $\Phi_i$ 是一个 $(s_i, t, d, K, F)$ 公式。
     • 选择 $s_1$ 和 $s_2$ 使得 $s_1 + s_2 + 1 = s$，并令 $\Phi = \Phi_1 + \Phi_2$，其中 $