62、布尔函数测试算法的规范形式与信息成本权衡

布尔函数测试算法的规范形式与信息成本权衡

1. 背景与问题提出

在理论计算机科学领域，属性测试是一个备受关注的研究方向，它与亚线性时间算法和复杂性理论中的PCP等主题密切相关。针对不同类型的对象，如 图、布尔函数、纠错码和概率分布等，已经发展出了各自独立的研究分支，每个分支都有独特的工具和技术，研究结果也呈现出不同的特点。因此，寻求一种更统一的属性测试观点，揭示不同对象测试结果之间的深层相似性，成为了一个自然的研究目标。

Goldreich和Trevisan在2003年的研究表明，每个可测试的图属性都有一个“规范”的测试器，该测试器随机选择一组顶点，并查询这些顶点构成的完全图的边，然后对结果进行确定性计算并输出“接受”或“拒绝”。那么，布尔函数属性测试算法是否也存在类似的“规范形式”呢？这正是本文要探讨的核心问题。

2. 布尔函数属性测试算法的分析

2.1 将测试算法看作查询字符串的概率分布

对于任何具有查询复杂度 $q(\epsilon)$ 且与变量数量 $n$ 无关的布尔函数类 $P$ 的测试算法 $A$，我们可以将其视为非自适应的（若不是非自适应的，可以通过标准方法将其转换为非自适应，虽然这会使查询复杂度呈指数级增加，但仍与 $n$ 无关）。测试算法 $A$ 可以分为两个阶段：
- 阶段一 ：$A_1$ 生成所有 $q(\epsilon)$ 个查询字符串并进行查询。
- 阶段二 ：$A_2$ 对查询结果进行计算并输出判决。虽然这个计算过程可能是随机的，但通过简单的论证可以证明，不失一般性，可以假设其为确定性的。