52、图膨胀测试：理论与算法详解

图膨胀测试：理论与算法详解

在图论和算法领域，图属性测试是一个重要的研究方向。本文聚焦于图膨胀属性的测试，探讨如何高效地判断一个图是否为特定图的膨胀图。

1. 研究背景与问题提出

在邻接矩阵模型下测试图属性时，查询复杂度是一个关键指标。许多自然的图属性可以在仅依赖接近度参数 $\epsilon$ 的查询复杂度内进行测试，但刻画能在 $poly(1/\epsilon)$ 查询复杂度内测试的图属性类仍是一个开放问题。

为了进一步研究，有人提出尝试刻画更低查询复杂度类，特别是能在 $O(1/\epsilon)$ 查询复杂度内非自适应测试的图属性类。此前的研究表明，由至多 $c$ 个孤立团组成的图集合属于这类属性。而本文将这一结果显著扩展，证明所有图膨胀属性都能在 $O(1/\epsilon)$ 查询复杂度内非自适应测试。

2. 基本概念

• 图的表示 ：在邻接矩阵模型中，一个 $N$ 顶点的图 $G = ([N], E)$ 可以用一个布尔函数 $g : [N] × [N] → {0, 1}$ 表示，其中 ${u, v} \in E$ 当且仅当 $g(u, v) = 1$。
• 接近度参数 ：一个 $N$ 顶点的图 $G$ 若要具有某个预定的图属性，需要修改超过 $\epsilon \cdot N^2$ 个 $g$ 的条目，则称 $G$ 与该属性 $\epsilon$-远，$\epsilon$ 即为接近度参数。
• 图属性测试 ：一个图属性 $\Pi$ 的测试器是一个概率 oracl