43、切格不等式的算法扩展

切格不等式的算法扩展

1. 矩阵性质与特征值关系

首先，有矩阵 (C) 满足 (\forall i)，(c_{ii}=-\sum_{j\neq i} c_{ij})，并且 (C) 是对称且半正定的。对于任意合适维度的向量 (x)，有 (x^T Cx = \sum_{ij} c_{ij}x_ix_j = -\frac{1}{2}\sum_{i\neq j} c_{ij}(x_i - x_j)^2 \geq 0)。利用引理 2 可得 (\lambda’_i \geq \lambda_i)，其中 (i\in[n])。

还有引理 4：设 (B) 是图 (G) 的行归一化矩阵，(S) 是 (G) 的非空顶点集，(G’) 是将 (S) 收缩为一个顶点得到的图，(B’) 是 (G’) 的行归一化邻接矩阵。若 (B) 的特征值为 (1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n)，(B’) 的特征值为 (1, \lambda’ 2, \lambda’_3, \lambda’_4 \geq \cdots \geq \lambda’ {n - |S| + 1})，则对于 (1 \leq i \leq n - |S| + 1)，有 (\lambda_i \geq \lambda’_i)。

证明过程如下：
设 (D^{\frac{1}{2}}) 是对角矩阵，其 ((i, i)) 元素为 (\sqrt{d_i})。注意到 (DB = B^T D)，所以 (Q \triangleq D^{\frac{1}{2}} B D^{-\frac{1}{2}}) 是对称矩阵，并且 (Q) 和 (B) 的特征值相同。(B) 的第 (i) 个特征值可